《2025年绿色成长互动空间决胜中考模拟卷数学》

21. （本题满分10分）如图，在四边形$ABCD$中，已知$AB = AD$，$CB = CD$，对角线$AC$，$BD$相交于点$M$.
（1）求证：$BM = DM$；
（2）若$AC = AB$，$\angle BAD = 72^{\circ}$，求$\angle CBD$的度数.

答案： （1）见解析；（2）18°
解析：（1）$\because AB = AD$，$CB = CD$，$AC = AC$，$\therefore\triangle ABC\cong\triangle ADC(SSS)$，$\angle BAC=\angle DAC$，$\because AB = AD$，$\therefore AC\perp BD$，$BM = DM$；
（2）$\because AB = AD$，$\angle BAD = 72^{\circ}$，$\therefore\angle ABD = 54^{\circ}$，$\because AC = AB$，$\angle BAC = 36^{\circ}$，$\therefore\angle ABC = 72^{\circ}$，$\angle CBD=72^{\circ}-54^{\circ}=18^{\circ}$。

22. （本题满分10分）甲、乙两商场同时开业，为了吸引顾客，都举办有奖酬宾活动：凡购物满100元，均可得到一次摸奖的机会.在一个纸盒中装有2个红球和2个白球，这些球除颜色外其他全部相同，摸奖者一次从中摸出2个球，根据球的颜色决定送礼金券的金额，如表所示.
|商场|礼金券/元|
| ---- | ---- |
| |两红|一红一白|两白|
|甲|5|10|5|
|乙|10|5|10|
（1）请用画树状图或列表的方法分别求出摸到两红、一红一白、两白的概率.
（2）只考虑中奖因素，你将会选择去哪个商场购物？请说明理由.

答案： （1）两红$\frac{1}{6}$，一红一白$\frac{2}{3}$，两白$\frac{1}{6}$；（2）乙商场
解析：（1）列表得所有6种情况，两红1种，概率$\frac{1}{6}$；一红一白4种，概率$\frac{2}{3}$；两白1种，概率$\frac{1}{6}$；
（2）甲期望$5×\frac{1}{6}+10×\frac{2}{3}+5×\frac{1}{6}=5$元，乙期望$10×\frac{1}{6}+5×\frac{2}{3}+10×\frac{1}{6}=\frac{20}{3}\approx6.67$元，选乙商场。