《2025年绿色成长互动空间决胜中考模拟卷数学》

28.（本题满分10分）【发现问题】小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝皮，再斜向铲去菠萝籽。销售员这样操作，除了方便，是否还蕴含着什么数学道理呢？
【分析问题】菠萝可以近似看成一个圆柱体，若忽略菠萝籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么菠萝籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的菠萝籽。如图①，该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有$n$个籽，每列有$k$个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为$d$（$n,k$均为正整数，$n＞k\geq3$，$d＞0$）。小明设计了如下三种铲籽方案。
（1）如图②，方案一是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为______，共铲______行，则铲除全部菠萝籽的路径总长为______；
（2）如图③，方案二是纵向铲籽示意图，则铲除全部菠萝籽的路径总长为______；
（3）如图④，方案三是斜向铲籽示意图，请写出该方案铲除全部菠萝籽的路径总长。
【解决问题】
（4）在上述三种方案中，哪种方案的铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价。
（第28题）

答案： （1）每行有$n$个籽，相邻间距$d$，路径长$(n-1)d$，共$k$行，总长$k(n-1)d$。
（2）每列有$k$个籽，路径长$(k-1)d$，共$n$列，总长$n(k-1)d$。
（3）斜向路径为直角三角形斜边，水平间距$(n-1)d$，竖直间距$(k-1)d$，
总长$\sqrt{[(n-1)d]^2+[(k-1)d]^2}=d\sqrt{(n-1)^2+(k-1)^2}$。
（4）比较：横向$k(n-1)d$，纵向$n(k-1)d$，斜向$d\sqrt{(n-1)^2+(k-1)^2}$，
∵$n＞k\geq3$，$k(n-1)-n(k-1)=k-n＜0$，横向＜纵向，
$[k(n-1)]^2-[(n-1)^2+(k-1)^2]=k^2(n-1)^2-(n-1)^2-(k-1)^2=(n-1)^2(k^2-1)-(k-1)^2＞0$，
∴斜向＜横向＜纵向，方案三最短，销售员斜向操作路径最短。