《2025年绿色成长互动空间决胜中考模拟卷数学》

21. （本题满分10分）如图，E，F为平行四边形ABCD的对角线上的两点，且$ \angle BAE=\angle DCF $，$ \angle AEC=90^\circ $.
（1）求证：四边形AECF为矩形；
（2）若$ BE=2 $，$ BD=14 $，$ AE=6 $，求四边形AECF的面积.

答案： （1）见解析；（2）48
解析：（1）ABCD为平行四边形，AB=CD，$\angle ABE=\angle CDF$，$\angle BAE=\angle DCF$，$\triangle ABE\cong\triangle CDF$（ASA），AE=CF，BE=DF。AC，BD交于O，EO=FO，AO=CO，AECF为平行四边形，$\angle AEC=90^\circ$，故为矩形；
（2）BD=14，BO=7，EO=BO-BE=5，矩形AECF中，AC=2AO=2$\sqrt{AE^2+EO^2}$=2$\sqrt{36+25}$=2$\sqrt{61}$，面积=AE×EC=6×8=48（EC=2$\sqrt{EO^2+OC^2}$计算得8）。

22. （本题满分10分）如图，在10×5的网格图中，每个小正方形的边长均为1，图中有一格点三角形ABC.现在图中建立平面直角坐标系，使得点A，B，C的坐标分别为$ A(1,0) $，$ B(2,-1) $，$ C(3,1) $.
（1）请在图中作出该平面直角坐标系；
（2）若以坐标原点O为位似中心，将$ \triangle ABC $放大为原来的2倍，请在图中作出放大后的$ \triangle A'B'C' $；
（3）请直接写出点$ A' $的坐标；
（4）求点$ A' $到直线$ B'C' $的距离.

答案： （1）略；（2）略；（3）(2,0)；（4）$\frac{6\sqrt{5}}{5}$
解析：（3）位似放大2倍，A(1,0)→A'(2,0)；
（4）B'(4,-2)，C'(6,2)，直线B'C'：y=2x-10，A'(2,0)到直线距离$\frac{|2×2 -10 -0|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{6}{\sqrt{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$。