《2025年绿色成长互动空间决胜中考模拟卷数学》

24.(本题满分10分)
(1) 请用尺规作出符合下列要求的点(不写作法，保留作图痕迹).
① 请在图①中作出一点D，使$\angle ADB = 2\angle C$；
② 请在图②中作出一点E，使$\angle AEB=\frac{1}{2}\angle ACB$.

答案： ① 作$\triangle ABC$的外接圆，在劣弧$AB$（不含点C）上任取一点D，连接AD,BD，则$\angle ADB = 180^\circ-\angle ACB$，若$\angle C$为锐角，$2\angle C$可能为优角，此处应为作以AB为弦，圆心角为$2\angle C$的圆与外接圆交点，作图痕迹略；② 作$\angle ACB$的平分线，与$\triangle ABC$外接圆交于点E（异于C），则$\angle AEB=\frac{1}{2}\angle ACB$，作图痕迹略。

(2) 如图③，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 45^\circ$，$AB = 4$，则$\triangle ABC$面积的最大值是______.

答案： 4 + 4$\sqrt{2}$
解析：以AB为弦，$\angle ACB = 45^\circ$的圆的圆心为O，半径$R = \frac{AB}{2\sin45^\circ}=2\sqrt{2}$，圆心O到AB的距离$d = \sqrt{R^2 - (\frac{AB}{2})^2}=2$，点C到AB的最大距离为$R + d = 2\sqrt{2}+2$，面积最大值为$\frac{1}{2}×4×(2\sqrt{2}+2)=4 + 4\sqrt{2}$。

25.(本题满分10分)如图，$\triangle ABC$内接于$\odot O$，$\angle BAC = 60^\circ$，AD平分$\angle BAC$交$\odot O$于点D，交BC于点E.
(1) 求证：$BD^2 = AD\cdot DE$；

答案： 证明：$\because AD$平分$\angle BAC$，$\angle BAC = 60^\circ$，$\therefore\angle BAD=\angle CAD = 30^\circ$。
$\because\angle DBE=\angle CAD = 30^\circ$（同弧所对圆周角相等），$\angle ADB=\angle BDE$（公共角），
$\therefore\triangle ABD\sim\triangle EBD$，$\therefore\frac{BD}{DE}=\frac{AD}{BD}$，即$BD^2 = AD\cdot DE$。

(2) 若$AB = 4\sqrt{3}$，$AC = 6\sqrt{3}$，求AD和DE的长.

答案： AD=10，DE=$\frac{14}{5}$
解析：由余弦定理得$BC^2=(4\sqrt{3})^2+(6\sqrt{3})^2 - 2×4\sqrt{3}×6\sqrt{3}\cos60^\circ=84$，$BC = 2\sqrt{21}$。
由角平分线定理得$\frac{BE}{EC}=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{3}$，$BE=\frac{4\sqrt{21}}{5}$。
由正弦定理得$\odot O$半径$R=\frac{BC}{2\sin60^\circ}=2\sqrt{7}$，$BD = R = 2\sqrt{7}$（$\triangle BOD$为等边三角形）。
设$DE = x$，由$BD^2 = AD\cdot DE$得$28=(AE + x)x$，AE= $\frac{2AB\cdot AC\cos30^\circ}{AB + AC}=\frac{36}{5}$，则$28=(\frac{36}{5}+x)x$，解得$x=\frac{14}{5}$，$AD=\frac{36}{5}+\frac{14}{5}=10$。