《2025年绿色成长互动空间决胜中考模拟卷数学》

27.（本题满分 10 分）如图,AB 为半圆 O 的直径,P 为半圆上的一个动点（不含端点）,以 OP,OB 为一组邻边作□POBQ,连接 OQ,AP.设 OQ,AP 的中点分别为 M,N,连接 PM,ON.

答案：

（1）试判断四边形 OMPN 的形状,并说明理由.

答案： 平行四边形。理由：
设 $ P(rcosθ, rsinθ) $，则 $ Q(r(cosθ + 1), rsinθ) $，M 为 OQ 中点 $ \left( \frac{r(cosθ + 1)}{2}, \frac{rsinθ}{2} \right) $，N 为 AP 中点 $ \left( \frac{r(cosθ - 1)}{2}, \frac{rsinθ}{2} \right) $。
向量 $ \overrightarrow{OM} = \left( \frac{r(cosθ + 1)}{2}, \frac{rsinθ}{2} \right) $，$ \overrightarrow{PN} = \left( -\frac{r(cosθ + 1)}{2}, -\frac{rsinθ}{2} \right) = -\overrightarrow{OM} $，故 $ OM // PN $ 且 $ OM = PN $，四边形 OMPN 是平行四边形。

（2）动点 P 从点 B 出发,以每秒 15°的速度绕点 O 在半圆弧上按逆时针方向运动,设运动时间为 t s.

答案：

① 当 t 为何值时,四边形 OMPN 的面积取得最大值？此时直线 PQ 与半圆 O 满足怎样的位置关系？

答案： 面积 $ S = \frac{1}{2}r^2 sinθ $（$ θ = 15t $），当 $ sinθ = 1 $ 即 $ θ = 90° $ 时，$ t = 6 $ s，面积最大。此时 $ P(0, r) $，$ Q(r, r) $，直线 PQ：$ y = r $，与半圆 O 相切。

② 是否存在这样的 t,使得点 Q 落在半圆 O 内？若存在,请直接写出 t 的取值范围；若不存在,请说明理由.

答案： 存在，$ 8 ＜ t ＜ 12 $。