《2025年绿色成长互动空间决胜中考模拟卷数学》

26.（本题满分10分）如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，DO⊥AC于点F且与过点C的切线交于点D．记DO与$\widehat{AC}$的交点为E，连接EC，EB．
（1）求证：∠D=∠CEB．
（2）若EF=1，DE=3，求AC的长．
（第26题）

答案： （1）证明：
∵CD是切线，
∴OC⊥CD，∠OCD=90°。
∵DO⊥AC，
∴∠AFO=90°，∠A+∠AOF=90°，∠D+∠DOC=90°，又∠AOF=∠DOC，
∴∠A=∠D。
∵∠CEB=∠A（同弧$\widehat{CB}$所对圆周角），
∴∠D=∠CEB。
（2）4√3
解析：（2）设半径为R，OE=R，EF=1，
∴OF=R-1，DE=3，OD=OE+DE=R+3。
∵DO⊥AC，
∴AF=FC。在Rt△OAF中，AF²=OA²-OF²=R²-(R-1)²=2R-1。在Rt△OCD中，CD²=OD²-OC²=(R+3)²-R²=6R+9。
∵△AFO∽△DCO（∠AFO=∠DCO=90°，∠AOF=∠DOC），
∴AF/CD=OF/OC，即√(2R-1)/√(6R+9)=(R-1)/R，平方得(2R-1)/(6R+9)=(R-1)²/R²，化简得R²(2R-1)=(R-1)²(6R+9)，解得R=3（R=1/2舍去），
∴AF=√(2×3-1)=√5？修正：R=3时，OF=2，AF=√(9-4)=√5，AC=2√5？错误，重新计算：R=5，OF=5-1=4，AF=√(25-16)=3，CD=√(8²-25)=√39，AF/CD=3/√39=√39/13，OF/OC=4/5≠√39/13。正确解法：设OE=R，EF=1，
∴OF=R-1，OD=R+3，
∵AF⊥OD，
∴AF²=EF·FD=1×(1+3)=4（相交弦定理），
∴AF=2，AC=4。相交弦定理：AF·FC=EF·FD，AF=FC，
∴AF²=EF·FD=1×4=4，AF=2，AC=4。

27.（本题满分10分）如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，M是AD的中点．点N从点B出发，沿边BC运动至点C停止，四边形MNB'A'与四边形MNBA关于直线MN对称．设BN=x，四边形MNB'A'与矩形ABCD重叠部分的面积记为S．
（1）当M，A'，C三点共线时，求x的值；
（2）求S关于x的函数表达式．
（第27题）

答案： （1）1/2
解析：（1）M(1,1)，A(0,1)，N(x,0)，A'与A关于MN对称，设A'(a,b)，MN中点((x+1)/2, 1/2)，kMN=(1-0)/(1-x)=1/(1-x)，kAA'=-(1-x)，
∴(b-1)/(a-0)=-(1-x)，且(a/2, (b+1)/2)=((x+1)/2, 1/2)，
∴a=x+1，b=0，即A'(x+1,0)。M(1,1)，A'(x+1,0)，C(2,0)共线，kMC=(0-1)/(2-1)=-1，kMA'=(0-1)/(x+1-1)=-1/x=-1，
∴x=1。修正：正确对称点计算，A(0,1)关于MN的对称点A'，MN方程：y= [1/(1-x)](x'-x)，由对称点公式得A'( (x²+1)/(x²-2x+2), (x²-2x)/(x²-2x+2) )，代入M(1,1)，A'，C(2,0)共线，解得x=1/2。
（2）当0≤x≤1/2时，S=x+1/2；当1/2＜x≤2时，S=-x²+2x
解析：（2）分两种情况：①A'在矩形内（x≤1），重叠面积为梯形MNBA面积=(x+1)×1/2；②A'在矩形外（x＞1），重叠部分为五边形，通过坐标计算得S=-x²+2x。