《2025年绿色成长互动空间决胜中考模拟卷数学》

27. (本题满分 10 分)已知正方形 ABCD 和正方形 BEFG，连接 EC 并延长交 DF 于点 M.
（1）如图①，正方形 ABCD 的顶点 C 落在正方形 BEFG 的边 BG 上.
① 若正方形 ABCD 和正方形 BEFG 的边长分别为 a，b，求 tan∠FDC 的值（用含 a，b 的式子表示）；
② 求∠EMF 的度数.
（2）若把正方形 BEFG 绕点 B 旋转一定角度，如图②所示，试探究∠EMF 的度数是否会发生变化，请说明理由.

答案： （1）① 设正方形 ABCD 中，D(a,a)，C(a,0)；正方形 BEFG 中，B(0,0)，G(b,0)，F(b,b).
则 F(b,b)，D(a,a)，直线 DF 的斜率$k = \frac{b - a}{b - a} = 1$，
在 Rt△DCH 中（H 为 F 在 DC 上的投影），tan∠FDC=$\frac{FH}{DH}=\frac{b}{a}$.
② 连接 BF，易证△BCE≌△DCF（SAS），∠BEC=∠DFC，
∵∠BEC + ∠BCE=90°，
∴∠DFC + ∠MCF=90°，
∴∠EMF=90° - 45°=45°.
（2）∠EMF 不变，仍为 45°.
理由：连接 BF，BD，证△BCE∽△BDF（$\frac{BC}{BD}=\frac{BE}{BF}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，∠CBE=∠DBF），
∴∠BEC=∠BFD，
∵∠BEC + ∠MEF=180° - 45°=135°，
∴∠BFD + ∠MEF=135°，在四边形 MEFB 中，∠EMF=360° - 90° - 135° - 90°=45°.