《2025年绿色成长互动空间决胜中考模拟卷数学》

21.（本题满分10分）如图，BD是$ \triangle ABC $的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，连接DE，EF，且$ DE// AB $，$ BE=AF $.
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）若$ \angle ABC=60^\circ $，$ BD=6 $，求DE的长.

答案： （1）
∵DE//AB，
∴$ \angle ABD=\angle BDE $，
∵BD平分$ \angle ABC $，
∴$ \angle ABD=\angle DBE $，
∴$ \angle DBE=\angle BDE $，$ DE=BE $.
∵$ BE=AF $，
∴$ DE=AF $，又DE//AF，
∴四边形ADEF是平行四边形；
（2）在$ \triangle BDE $中，$ \angle DBE=30^\circ $，$ \angle DEB=120^\circ $，由余弦定理$ BD^2=BE^2+DE^2-2BE\cdot DE\cos120^\circ $，设$ DE=BE=x $，则$ 36=3x^2 $，解得$ x=2\sqrt{3} $，
∴DE=2\sqrt{3}.

22.（本题满分10分）一个不透明的盒子里装有4个小球，这些小球的形状、大小、质地等完全相同，其中红球分别标有数字1,2，白球分别标有数字3,4.先从盒子里随机取出1个小球，记下数字后不放回盒子里，摇匀后再从盒子里随机取出1个小球，记下数字.
（1）第一次恰好取出标有数字2的小球的概率为_________；
（2）请用画树状图或列表的方法求两次取出的小球上的数字之积为奇数的概率.

答案： （1）$ \frac{1}{4} $；
（2）列表得所有12种等可能结果，其中积为奇数的有2种（(1,3),(3,1)），概率为$ \frac{2}{12}=\frac{1}{6} $