《2025年绿色成长互动空间决胜中考模拟卷数学》

28. (本题满分 10 分)如图，二次函数$y=ax^2+2ax+c(a＞0)$的图像与 x 轴相交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），它的对称轴直线 l 与图像交于点 P，直线 OP 所对应的函数表达式为$y=2x$.
（1）请直接写出点 P 的坐标.
（2）若△PAB 为直角三角形，设直线 OP 与这个二次函数的图像的另一个交点为 Q.
① 求 a，c 的值与点 Q 的坐标；
② 若 M 为直线 l 上的点，且以 M，B，Q 为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点 M 的纵坐标 t 的取值范围.

答案： （1）对称轴$x=-\frac{2a}{2a}=-1$，
∵P 在$y=2x$上，
∴P(-1,-2).
（2）①
∵△PAB 为直角三角形，P 在对称轴上，
∴PA=PB，∠APB=90°，
设 A(-1-m,0)，B(-1+m,0)，则 AB=2m，P 到 AB 距离为 2，
由等腰直角三角形性质：m=2，
∴A(-3,0)，B(1,0)，
代入$y=ax^2+2ax+c$得$\begin{cases}0=9a - 6a + c \\ 0=a + 2a + c \\ -2=a - 2a + c\end{cases}$，
解得$a=\frac{1}{2}$，$c=-\frac{3}{2}$，二次函数为$y=\frac{1}{2}x^2 + x - \frac{3}{2}$.
联立$y=2x$得$\frac{1}{2}x^2 + x - \frac{3}{2}=2x$，解得$x=3$或$x=-1$，
∴Q(3,6).
② 设 M(-1,t)，B(1,0)，Q(3,6)，
由锐角三角形条件得：$\begin{cases}(t-0)^2 + ( -1-1)^2 + (t-6)^2 + (-1-3)^2 ＞ (1-3)^2 + (0-6)^2 \\ (t-0)^2 + (-1-1)^2 + (1-3)^2 + (0-6)^2 ＞ (t-6)^2 + (-1-3)^2 \\ (t-6)^2 + (-1-3)^2 + (1-3)^2 + (0-6)^2 ＞ (t-0)^2 + (-1-1)^2\end{cases}$，
解得$t＞2+2\sqrt{13}$或$t＜2-2\sqrt{13}$或$-2＜t＜6$.