《2025年绿色成长互动空间决胜中考模拟卷数学》

28.(本题满分12分)如图①，抛物线$y=-x^2 + (a + 1)x - a$与x轴交于A，B两点(点A位于点B左侧)，与y轴交于点C，$\triangle ABC$的面积是6.
(1) 求a的值；

答案： -3
解析：令$y = 0$，$-x^2 + (a + 1)x - a = 0$，解得$x = 1$或$x = a$，$A(a,0)$，$B(1,0)$（$a＜1$），$C(0,-a)$。
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×|1 - a|×|-a|=6$，即$|a(a - 1)|=12$，解得$a=-3$（$a = 4$舍去，因A在x负半轴）。

(2) 求$\triangle ABC$的外接圆圆心的坐标；

答案： (-1,1)
解析：$A(-3,0)$，$B(1,0)$，$C(0,3)$，AB中垂线$x=-1$，设圆心$(-1,b)$，由$(-1 + 3)^2 + b^2=(-1 - 0)^2 + (b - 3)^2$，解得$b = 1$，圆心$(-1,1)$。

(3) 如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P，Q两点均在第三象限内，Q，A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，$\triangle QPB$的面积为2d，且$\angle PAQ=\angle AQB$，求点Q的坐标.

答案： (-2,1)
解析：$CA:y = x + 3$，设$Q(m,m + 3)(m＜0)$，$P(p,-p^2 - 2p + 3)(p＜0)$，$d = p^2 + 2p - 3$。
$S_{\triangle QPB}=2d$，由面积公式得$\frac{1}{2}×|(m(0 - y_P) + 1(y_P - m - 3) + p(m + 3))|=2d$，化简得$m = -2$，$\therefore Q(-2,1)$。