《2025年绿色成长互动空间决胜中考模拟卷数学》

7. 如果一个多边形的内角和等于$1260^{\circ}$，那么这个多边形的边数为（ ）
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10

答案： C
解析：多边形内角和公式$(n - 2)×180^{\circ}=1260^{\circ}$，解得$n=9$，故选C。

8. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC:\angle ABC:\angle ACB=1:2:3$，以$AC$为直径的半圆$O$交$AB$于点$D$，过点$D$作半圆$O$的切线交$BC$于点$E$.若$DE = 2\ cm$，则$\widehat{CD}$的长为（ ）
A. $2\sqrt{2}\ cm$
B. $2\sqrt{3}\ cm$
C. $\frac{2\pi}{3}\ cm$
D. $\frac{2\sqrt{3}\pi}{3}\ cm$

答案： D
解析：由内角和得$\angle BAC=30^{\circ}$，$\angle ABC=60^{\circ}$，$\angle ACB=90^{\circ}$。设半径$OC = r$，$DE$为切线，$OD\perp DE$，由切线长定理$DE = CE = 2$。$\angle COE=30^{\circ}$，在$Rt\triangle OCE$中，$CE = OC\tan30^{\circ}$，即$2 = r·\frac{\sqrt{3}}{3}$，$r = 2\sqrt{3}$。$\angle COD=60^{\circ}=\frac{\pi}{3}$，弧长$\widehat{CD}=\frac{\pi}{3}×2\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}\pi}{3}\ cm$，故选D。

9. 将四张长为$a$、宽为$b(a ＞ b)$的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为$(a + b)$的正方形，图中空白部分的面积为$S_{1}$，阴影部分的面积为$S_{2}$.若$S_{1}=2S_{2}$，则$a$，$b$满足（ ）
A. $2a = 5b$
B. $a = 2b$
C. $a = 3b$
D. $2a = 3b$

答案： C
解析：大正方形面积$(a + b)^{2}$，$S_{1}+S_{2}=(a + b)^{2}$，$S_{1}=2S_{2}$，则$S_{2}=\frac{(a + b)^{2}}{3}$。阴影面积$S_{2}=2ab$（四个长方形面积$4ab$，空白$S_{1}=a^{2}+b^{2}$，$S_{2}=4ab - (a - b)^{2}=2ab$），$2ab=\frac{(a + b)^{2}}{3}$，化简得$a = 3b$，故选C。

10. 如图，在$\triangle ABC$中，$AC = 6$，$\angle BAC=60^{\circ}$，$AM$为$\triangle ABC$的角平分线.若$\frac{BM}{MC}=\frac{3}{2}$，则$AM$的长为（ ）
A. 6
B. $\frac{5\sqrt{6}}{2}$
C. $\frac{18\sqrt{3}}{5}$
D. $2\sqrt{13}$

答案： C
解析：由角平分线定理$\frac{AB}{AC}=\frac{BM}{MC}=\frac{3}{2}$，$AB = 9$。余弦定理得$BC^{2}=9^{2}+6^{2}-2×9×6×\cos60^{\circ}=63$，$BC = 3\sqrt{7}$，$BM=\frac{9\sqrt{7}}{5}$，$MC=\frac{6\sqrt{7}}{5}$。角平分线长公式$AM^{2}=AB·AC - BM·MC=9×6 - \frac{9\sqrt{7}}{5}×\frac{6\sqrt{7}}{5}=\frac{972}{25}$，$AM=\frac{18\sqrt{3}}{5}$，故选C。

11. $-\frac{1}{2}$的倒数为$\underline{\quad\quad}$.

答案： -2
解析：倒数定义，$-\frac{1}{2}$的倒数是$-2$。

12. 请写出$2x^{2}y^{3}$的一个同类项：$\underline{\quad\quad}$.

答案： 3x^{2}y^{3}（答案不唯一）
解析：同类项要求字母相同，相同字母指数相同，如$3x^{2}y^{3}$。

13. 将方程$\frac{x - 2}{3}-\frac{x}{2}=1$去分母后的结果是$\underline{\quad\quad}$.

答案： 2(x - 2)-3x = 6
解析：两边同乘6，得$2(x - 2)-3x = 6$。

14. 若二次函数$y=(a - 1)x^{2}+3x + a^{2}-3a + 2$的图像经过原点，则$a$的值为$\underline{\quad\quad}$.

答案： 2
解析：过原点$(0,0)$，代入得$a^{2}-3a + 2 = 0$，$(a - 1)(a - 2)=0$，$a = 1$（舍，二次项系数不为0）或$a = 2$。

15. 小明设计了一个魔术盒，当任意实数对$(a,b)$进入其中时，会得到一个新的实数$a^{2}+b - 1$.例如，把实数对$(3,-2)$放入其中，就会得到$3^{2}+(-2)-1 = 6$.现将实数对$(-1,3)$放入其中，得到实数$m$，再将实数对$(m,1)$放入其中，得到的实数是$\underline{\quad\quad}$.

答案： 9
解析：$m=(-1)^{2}+3 - 1=3$，再代入$(3,1)$得$3^{2}+1 - 1=9$。