《2025年绿色成长互动空间决胜中考模拟卷数学》

28.（本题满分10分）如图，抛物线$ y=ax^2+2x+c $与x轴交于A，B(3,0)两点（点A在点B左侧），交y轴于点C，连接AC，其中$ OB=OC $。
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知P为线段BC上方抛物线上一动点，过点P作$ PE \perp BC $于点E，若$ \frac{PE}{BE}=\frac{1}{2} $，求点P的坐标；
（3）过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当$ \triangle EFC $与$ \triangle ABC $相似时，点E的坐标为_________。

答案： （1）
∵抛物线与x轴交于B(3,0)，$ OB=3 $，且$ OB=OC $，C在y轴上，
∴C(0,3)（抛物线开口向下，C在y轴正半轴）。将B(3,0)，C(0,3)代入$ y=ax^2+2x+c $，得$ \begin{cases} 9a+6+c=0 \\ c=3 \end{cases} $，解得$ a=-1 $，$ c=3 $，
∴抛物线表达式为$ y=-x^2+2x+3 $。
（2）由B(3,0)，C(0,3)得BC：$ y=-x+3 $，斜率为-1，故$ PE \perp BC $时，PE斜率为1。设E(t,-t+3)，P(m,n)，则$ n=-m^2+2m+3 $。$ PE $方程：$ y-n=x-m $，与BC交于E，联立得$ -t+3-n=t-m $，即$ 2t=m-n+3 $。$ BE=\sqrt{2}(3-t) $，$ PE=\sqrt{2}(m-t) $，由$ \frac{PE}{BE}=\frac{1}{2} $得$ \frac{m-t}{3-t}=\frac{1}{2} $，即$ t=2m-3 $。代入$ 2t=m-n+3 $，得$ 2(2m-3)=m-(-m^2+2m+3)+3 $，化简得$ m^2-5m+6=0 $，解得$ m=2 $（$ m=3 $舍去），$ n=3 $，
∴P(2,3)。
（3）$ A(-1,0) $，$ AB=4 $，$ BC=3\sqrt{2} $，$ AC=\sqrt{10} $。设E(t,-t+3)，则F(t,-t²+2t+3)，$ EF=t(3-t) $，$ EC=\sqrt{2}t $。分两种相似情况：
①$ \frac{EF}{AB}=\frac{EC}{BC} $，$ \frac{t(3-t)}{4}=\frac{\sqrt{2}t}{3\sqrt{2}} $，解得$ t=1 $；
②$ \frac{EF}{BC}=\frac{EC}{AB} $，$ \frac{t(3-t)}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}t}{4} $，解得$ t=2 $。
∴E(1,2)或(2,1)。