《2025年绿色成长互动空间决胜中考模拟卷数学》

26.（本题满分10分）某小吃店计划购买A,B两种食材制作小吃。已知购买1 kg A种食材和1 kg B种食材共需68元，购买5 kg A种食材和3 kg B种食材共需280元。
（1）求A,B两种食材的单价。
（2）该小吃店计划购买两种食材共36 kg，其中购买A种食材的质量不少于B种食材质量的2倍。当A,B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用。

答案： （1）设A单价$m$元/kg，B单价$n$元/kg，
$\begin{cases}m+n=68 \\ 5m+3n=280\end{cases}$，
解得$m=38$，$n=30$。
（2）设买A$x$kg，B$y$kg，$x+y=36$，$x\geq2y$，
$y=36-x$，$x\geq2(36-x)$，$x\geq24$，
总费用$W=38x+30y=38x+30(36-x)=8x+1080$，
∵$8＞0$，$W$随$x$增大而增大，
∴$x=24$时，$y=12$，$W_{min}=8×24+1080=1272$元。

27.（本题满分10分）在平面直角坐标系中，抛物线$y=ax^2-\frac{3}{2}x+c$与$x$轴交于$A(-1,0),B(4,0)$两点，抛物线的顶点为$P$。
（1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点$P$的坐标。
（2）记抛物线交$y$轴于点$C$，且过点$A,B,C$的圆与$y$轴的另一个交点为$D$，求线段$CD$的长。
（3）过点$P$的直线$y=kx+n$分别与抛物线、直线$x=-1$交于$x$轴下方的点$M,N$，直线$NB$交抛物线的对称轴于点$E$，点$P$关于点$E$的对称点为$Q$，$MH\perp x$轴于点$H$。请判断点$H$与直线$NQ$的位置关系，并给出证明。

答案： （1）将$A(-1,0),B(4,0)$代入抛物线：
$\begin{cases}a+\frac{3}{2}+c=0 \\ 16a-6+c=0\end{cases}$，
解得$a=\frac{1}{2}$，$c=-2$，
表达式$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x-2$，
顶点$P(\frac{3}{2},-\frac{25}{8})$（对称轴$x=\frac{3}{2}$，代入得$y$值）。
（2）$C(0,-2)$，设过$A,B,C$的圆方程$x^2+y^2+dx+ey+f=0$，
代入$A(-1,0):1-d+f=0$，
$B(4,0):16+4d+f=0$，
$C(0,-2):4-2e+f=0$，
解得$d=-3$，$e=0$，$f=-4$，
圆方程$x^2+y^2-3x-4=0$，令$x=0$，$y^2=4$，$y=2$或$-2$，
$D(0,2)$，$CD=|2-(-2)|=4$。
（3）点$H$在直线$NQ$上。
证明：设直线$y=kx+n$过$P(\frac{3}{2},-\frac{25}{8})$，$n=-\frac{25}{8}-\frac{3}{2}k$，
与抛物线交于$M(x_m,y_m)$（$y_m＜0$），与$x=-1$交于$N(-1,y_n)$（$y_n＜0$），
$NB$方程：$y=\frac{y_n}{-1-4}(x-4)=-\frac{y_n}{5}(x-4)$，
抛物线对称轴$x=\frac{3}{2}$，$E(\frac{3}{2},-\frac{y_n}{5}(\frac{3}{2}-4))=(\frac{3}{2},\frac{y_n}{2})$，
$P$关于$E$对称点$Q(3-\frac{3}{2},\frac{y_n}{2}×2+\frac{25}{8})=(\frac{3}{2},y_n+\frac{25}{8})$，
$MH\perp x$轴，$H(x_m,0)$，
直线$NQ$：过$N(-1,y_n)$，$Q(\frac{3}{2},y_n+\frac{25}{8})$，斜率$k_{NQ}=\frac{\frac{25}{8}}{\frac{5}{2}}=\frac{5}{4}$，
方程$y-y_n=\frac{5}{4}(x+1)$，令$y=0$，$x=\frac{-4y_n}{5}-1$，
∵$M$在抛物线上，$y_m=\frac{1}{2}x_m^2-\frac{3}{2}x_m-2=kx_m+n$，
联立得$x_m=\frac{3+2k}{2}$（另一根为$\frac{3}{2}$），$H(\frac{3+2k}{2},0)$，
又$y_n=-k+n=-\frac{25}{8}-\frac{5}{2}k$，代入$x=\frac{-4y_n}{5}-1=\frac{3+2k}{2}$，
∴$H$在直线$NQ$上。