《2025年绿色成长互动空间决胜中考模拟卷数学》

26. （本题满分10分）如图，AB是$ \odot O $的直径，点C，D在$ \odot O $上，且$ BC = CD $，E是线段AB的延长线上一点，连接EC并延长交射线AD于点F，$ \angle FEG $的平分线EH交射线AC于点H，$ \angle H = 45^\circ $.
（1）求证：EF是$ \odot O $的切线；
（2）若$ BE = 2 $，$ CE = 4 $，求AF的长.

答案： （1）见解析；（2）$ \frac{9}{2} $
＜解析＞（1）连OC，$ BC = CD \Rightarrow \angle BAC = \angle CAD $，$ OA = OC \Rightarrow \angle OCA = \angle BAC = \angle CAD \Rightarrow OC // AD $，$ \angle OCE = 90^\circ \Rightarrow EF $是切线；
（2）$ OC = r $，$ OE = r + 2 $，$ OC^2 + CE^2 = OE^2 \Rightarrow r = 3 $，$ \triangle EBC \sim \triangle ECA \Rightarrow AC = 6 $，$ AF = \frac{9}{2} $。

27. （本题满分10分）如图，在$ \triangle ABC $中，$ AB = AC = 5 $，$ BC = 6 $，D是边BC上的一点（不与点B，C重合）. 现作射线AD，在射线AD上取点P，使$ AP = BD $，以AP为边作正方形APMN，使点M和点C在直线AD同侧.
（1）当D是边BC的中点时，求AD的长；
（2）当$ BD = 4 $时，求点D到直线AC的距离；
（3）连接PN，当$ PN \perp AC $时，求正方形APMN的边长；
（4）若点N到直线AC的距离是点M到直线AC距离的3倍，则CD的长为__________.

答案： （1）4；（2）$ \frac{8}{5} $；（3）3；（4）$ \frac{3}{2} $或2
＜解析＞（1）D为中点，$ AD \perp BC $，$ AD = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4 $；
（2）$ CD = 2 $，面积法$ \frac{1}{2} × 2 × 4 = \frac{1}{2} × 5 × d \Rightarrow d = \frac{8}{5} $；
（3）$ PN \perp AC \Rightarrow \angle PAN = 45^\circ $，AD平分$ \angle BAC $，$ AP = BD = 3 $；
（4）分两种情况得$ CD = \frac{3}{2} $或2。