《2025年高中总复习优化设计高中物理》

10.（2023四川内江三模）如图所示，在竖直平面内，光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切，BC为圆弧轨道的直径，O为圆心，半径OA和OB之间的夹角为$\alpha = 30^{\circ}$，一质量为$m$的小球沿水平轨道从P点向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，最后落至水平轨道PA上。现要使小球在C点所受合力的方向指向圆心O，且此时小球对轨道的压力恰好为零，就必须在C点对小球施加一个外力，重力加速度大小为$g$。求：

（1）这个外力的最小值及方向；
（2）小球在A点时对轨道的压力。

答案：
答案
(1)1/2 mg，方向与CB垂直斜向上
(2)(3(2 + √3) / 2)mg，方向竖直向下
解析
(1)根据平行四边形定则，当这个外力F与合力方向垂直时，外力最小。根据作图可知，外力的方向与CB垂直斜向上，如图所示
　　　
根据几何关系可得
Fmin = mgsin30° = 1/2 mg。
(2)在C点，由牛顿第二定律得
F合 = m vC² / R
合力的大小为F合 = mgcosα
解得vC = √(gRcosα)
从A点到C点，由机械能守恒得
1/2 m vA² = 1/2 m vC² + mgR(1 + cosα)
解得vA = √((2 + 3cosα)gR)
在A点，由牛顿第二定律得
FN - mg = m vA² / R
解得轨道对小球的支持力为FN = (3(2 + √3) / 2)mg
根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力大小为(3(2 + √3) / 2)mg，方向竖直向下。