《2025年高中总复习优化设计高中物理》

12.（多选）（2023广西南宁模拟）如图所示，质量不计的直角形支架两直角边长度分别为2L和L，支架两端分别连接质量为2m的小球A和质量为3m的小球B。支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动。开始时OA边处于水平位置，现将小球A由静止释放，则下列说法正确的是（ ）

A. 小球A、B机械能之和保持不变
B. 小球A到达最低点时的速度大小为$2\sqrt{\frac{2gL}{11}}$
C. 小球A到达最低点的过程中，杆对小球A所做的功为$-\frac{36mgL}{11}$
D. 当OA与水平方向的夹角为45°时，小球A的速度达到最大

答案： ABC　解析根据题意可知，对小球A、B组成的系统，只有重力和系统内的弹力做功，系统的机械能守恒，故小球A、B机械能之和保持不变，故A正确；根据题意，设小球A到达最低点时的速度大小为$v_{A}$，小球B的速度为$v_{B}$，取最低点为零势能面，由机械能守恒定律有$3mgL+2mg\cdot2L=3mg\cdot2L+\frac{1}{2}\cdot3mv_{B}^{2}+\frac{1}{2}\cdot2mv_{A}^{2}$，转动过程中，小球A和小球B的角速度相等，因为$v=\omega r$，则$\frac{v_{A}}{v_{B}}=\frac{2L}{L}=2$，解得$v_{A}=2\sqrt{\frac{2gL}{11}}$，故B正确；根据题意，小球A到达最低点的过程中，设杆对小球A所做的功为W，对小球A，由动能定理有$2mg\cdot2L+W=\frac{1}{2}\cdot2mv_{A}^{2}-0$，解得$W=-\frac{36mgL}{11}$，故C正确；根据题意，设OA边与水平方向夹角为$\theta$时，小球A的速度最大，取O点所在平面为零势能面，根据机械能守恒定律有$-3mgL=-3mgL\cos\theta-2mg\cdot2L\sin\theta+\frac{1}{2}\cdot3mv_{Bm}^{2}+\frac{1}{2}\cdot2mv_{Am}^{2}$，又有$\frac{v_{Am}}{v_{Bm}}=\frac{2L}{L}=2$，整理可得$v_{Am}=\sqrt{\frac{8(4\sin\theta+3\cos\theta - 3)gL}{11}}$，由数学知识可得$v_{Am}=\sqrt{\frac{8[5\cos(\theta - 53^{\circ}) - 3]gL}{11}}$，可知，当$\theta = 53^{\circ}$时，小球A的速度达到最大，故D错误。

13. 如图所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动，在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，球与O的距离均为2R，在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为$m_{0}$的重物。重物由静止下落，带动鼓形轮转动，重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为ω。绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g。求：

（1）重物落地后，小球线速度的大小v；
（2）重物落地后一小球转到水平位置A，此时该球受到杆的作用力的大小F；
（3）重物下落的高度h。

答案： 答案
(1)$2\omega R$
(2)$\sqrt{(2m\omega^{2}R)^{2}+(mg)^{2}}$
(3)$\frac{m_{0}+16m}{2m_{0}g}(\omega R)^{2}$
解析
(1)线速度$v=\omega r$，得$v = 2\omega R$。
(2)向心力$F_{向}=2m\omega^{2}R$
设F与水平方向的夹角为$\alpha$，则
$F\cos\alpha=F_{向}$，$F\sin\alpha=mg$
解得$F=\sqrt{(2m\omega^{2}R)^{2}+(mg)^{2}}$
(3)落地时，重物的速度$v=\omega R$
由机械能守恒得
$\frac{1}{2}m_{0}v^{2}+4\times\frac{1}{2}mv^{2}=m_{0}gh$
解得$h=\frac{m_{0}+16m}{2m_{0}g}(\omega R)^{2}$。

14.（2023黑龙江哈尔滨模拟）如图所示，质量均为m的重物A、B和质量为$m_{0}$的重物C（均可视为质点）用不可伸长的轻质长绳跨过两个光滑的等高小定滑轮（半径可忽略）连接，C与滑轮等高时，到两定滑轮的距离均为l，现将系统由静止释放，C竖直向下运动，下落高度为$\sqrt{3}l$时，速度达到最大，已知运动过程中A、B始终未到达滑轮处，重力加速度大小为g。

（1）求C下落$\sqrt{3}l$时细绳的拉力大小$F_{T}$；
（2）求C下落$\sqrt{3}l$时C的速度大小$v_{C}$；
（3）若用质量为$\sqrt{2}m$的D替换C，将其由静止释放，求D能下降的最大距离d。

答案： 答案
(1)$\frac{\sqrt{3}}{3}m_{0}g$
(2)$2\sqrt{\frac{3m_{0}-2m}{2m_{0}+3m}g}$
(3)$2\sqrt{2}l$
解析
(1)设C下落$\sqrt{3}l$时，细绳与竖直方向的夹角为$\theta$，由几何关系可得$\tan\theta=\frac{l}{\sqrt{3}l}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
所以$\theta = 30^{\circ}$
对C，其速度最大时，加速度为0，合力为0，有$2F_{T}\cos\theta=m_{0}g$
解得$F_{T}=\frac{\sqrt{3}}{3}m_{0}g$。
(2)由几何关系，当C下落$\sqrt{3}l$时，A和B上升的高度为$h=\frac{l}{\sin\theta}-l = l$
对A、B、C组成的系统，根据机械能守恒定律有$m_{0}g(\sqrt{3}l)-2mgh=\frac{1}{2}m_{0}v_{C}^{2}+2\times\frac{1}{2}mv_{A}^{2}$
又$v_{A}=v_{C}\cos\theta$
解得$v_{C}=2\sqrt{\frac{3m_{0}-2m}{2m_{0}+3m}g}$
(3)设D下落到最低点时，细绳与竖直方向的夹角为$\alpha$，对A、B、D组成的系统，由机械能守恒定律有$\sqrt{2}m_{0}gd=2mg(\frac{l}{\sin\alpha}-l)$
由几何关系得$d=\frac{l}{\tan\alpha}$
解得$d = 2\sqrt{2}l$。