《2025年高中总复习优化设计高中物理》

8. 在地球赤道某处有一天文观测站，观测站一名观测员一次偶然机会发现一颗人造卫星从观测站的正上方掠过，然后他就对这颗卫星进行跟踪，发现这颗卫星每两天恰好有四次从观测站的正上方掠过。若地球自转周期为T，假设卫星做匀速圆周运动且运行方向与地球自转方向相同，地球半径为R，地球表面加速度为g，则下列判断正确的是(　　　)
A. 卫星周期为$\frac{1}{2}T$
B. 卫星轨道半径为$\sqrt[3]{\frac{gR^2T^2}{36\pi^2}}$
C. 卫星运行速度小于地球同步卫星速度
D. 卫星加速度小于地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度

答案： B　解析：由于每两天恰有4次经过，所以卫星的周期为$T_0=\frac{1}{3}T$，故A错误；由$G\frac{m_0m}{r^{2}}=m(\frac{2\pi}{T_0})^{2}r$，得$r=\sqrt[3]{\frac{Gm_0T_0^{2}}{4\pi^{2}}}$，又$Gm_0 = gR^{2}$，所以$r=\sqrt[3]{\frac{gR^{2}T_0^{2}}{36\pi^{2}}}$，故B正确；由于卫星周期小于同步卫星周期，所以速度大于同步卫星速度，故C错误；卫星的加速度大于同步卫星加速度，而同步卫星加速度大于地球赤道上物体的加速度，所以卫星加速度大于地球赤道上物体的加速度，故D错误。

9. “嫦娥六号”是嫦娥探月工程计划中嫦娥系列的第六颗人造探月卫星，主要任务是更深层次、更加全面地科学探测月球地理、资源等方面的信息，进一步完善月球档案资料。已知月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g，引力常量为G，嫦娥六号的质量为m，离月球中心的距离为r。根据以上信息可求出(　　　)
A. 月球的第一宇宙速度为$\sqrt{gr}$
B. “嫦娥六号”绕月运行的动能为$\frac{mgR^2}{2r}$
C. 月球的平均密度为$\frac{3g}{4\pi GR^3}$
D. “嫦娥六号”绕月运行的周期为$2\pi\sqrt{\frac{r^3}{gR}}$

答案： B　解析：月球表面，忽略自转有$G\frac{m_0m}{R^{2}}=mg$，解得$Gm_0 = gR^{2}$，根据万有引力提供向心力，有$G\frac{m_0m}{R^{2}}=m\frac{v^{2}}{R}$，可得月球的第一宇宙速度为$v_1=\sqrt{gR}$，故A错误；“嫦娥六号”绕月运行时，根据万有引力提供向心力，有$G\frac{m_0m}{r^{2}}=m\frac{v^{2}}{r}$，解得$v=\sqrt{\frac{gR^{2}}{r}}$，“嫦娥六号”绕月运行的动能为$E_k=\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{mgR^{2}}{2r}$，故B正确；月球的质量为$m_0=\frac{gR^{2}}{G}$，月球的平均密度为$\rho=\frac{m_0}{V}=\frac{m_0}{\frac{4}{3}\pi{R}^{3}}=\frac{3g}{4\pi{GR}}$，故C错误；“嫦娥六号”绕月运行时，根据万有引力提供向心力有$G\frac{m_0m}{r^{2}}=m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r$，“嫦娥六号”绕月运行的周期为$T = 2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{gR^{2}}}$，故D错误。

10.（2023辽宁锦州模拟）如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径约等于地球半径），c为地球的同步卫星。下列关于a、b、c的说法正确的是(　　　)

A. b卫星转动线速度大于7.9 km/s
B. a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为$a_b＞a_c＞a_a$
C. a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为$T_a=T_c＜T_b$
D. 在b、c中，c的机械能大

答案： B　解析：第一宇宙速度是最大的运行速度，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，b卫星转动线速度等于7.9km/s，故A错误；由题可知a、c具有相同的角速度，根据$a=\omega^{2}r$，由于$r_c＞r_a$，所以$a_c＞a_a$，对于b、c有$G\frac{m_0m}{r^{2}}=ma$，得$a=\frac{Gm_0}{r^{2}}$，由于$r_c＞r_b$，可知$a_b＞a_c$，综上得$a_b＞a_c＞a_a$，故B正确；由题知$T_a=T_c$，对于b、c有$G\frac{m_0m}{r^{2}}=m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r$，得$T=2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{Gm_0}}$，由于$r_c＞r_b$，可知$T_c＞T_b$，综上得$T_a=T_c＞T_b$，故C错误；由于不知道b、c卫星的质量，所以无法判断它们机械能的大小，故D错误。

11.（多选）（2023吉林通化二模）为更好地探测月球，发射一颗观测月球的地球卫星，月球B分别与卫星A和地球球心O的连线之间的最大夹角为θ。设卫星、月球绕地球均做匀速圆周运动，轨迹如图所示，则下列说法正确的是(　　　)

A. 卫星与月球的轨道半径之比为cosθ∶1
B. 卫星与月球的加速度大小之比为1∶sin^2θ
C. 卫星与月球的线速度大小之比为$\sqrt{sinθ}∶1$
D. 卫星与月球的角速度大小之比为1∶$\sqrt{sin^3θ}$

答案： BD　解析：由题意可知，当月球B分别与卫星A和地球球心O的连线之间的最大夹角为$\theta$时，月球B与卫星A的连线与A的轨道相切，由几何知识可得$R_A=R_B\sin\theta$，则有$R_A:R_B=\sin\theta:1$，A错误；由牛顿第二定律可得$G\frac{m_0m}{R^{2}}=ma$，则$a=G\frac{m_0}{R^{2}}$，卫星与月球的加速度大小之比$a_A:a_B=R_B^{2}:R_A^{2}=\sin^{2}\theta:1$，B正确；由万有引力提供向心力可得$G\frac{m_0m}{R^{2}}=m\frac{v^{2}}{R}$，则$v=\sqrt{\frac{Gm_0}{R}}$，卫星与月球的线速度大小之比$v_A:v_B=\sqrt{R_B}:\sqrt{R_A}=1:\sqrt{\sin\theta}$，C错误；由万有引力提供向心力，可得$G\frac{m_0m}{R^{2}}=m\omega^{2}R$，则$\omega=\sqrt{\frac{Gm_0}{R^{3}}}$，卫星与月球的角速度大小之比$\omega_A:\omega_B=\sqrt{R_B^{3}}:\sqrt{R_A^{3}}=1:\sqrt{\sin^{3}\theta}$，D正确。

12. 航天员在一行星上以速度$v_0$竖直上抛一质量为m的物体，不计空气阻力，经2t后落回手中，已知该星球半径为R。求：
（1）该星球的第一宇宙速度的大小；
（2）该星球的第二宇宙速度的大小。已知取无穷远处引力势能为零，物体距星球球心距离为r时的引力势能$E_p=-G\frac{mm_0}{r}$（G为引力常量）。

答案： 答案：
(1)$\sqrt{\frac{vR}{t}}$　
(2)$\sqrt{\frac{2vR}{t}}$
　解析：
(1)由题意可知星球表面重力加速度为$g=\frac{v}{t}$，由万有引力定律知$mg=m\frac{v^{2}}{R}$，解得$v=\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{vR}{t}}$。
(2)由星球表面万有引力等于物体重力知$G\frac{m_0m}{R^{2}}=mg$，又$E_p=-G\frac{m_0m}{R}$，解得$E_p=-\frac{mvR}{t}$，由机械能守恒定律有$\frac{1}{2}mv_2^{2}-\frac{mvR}{t}=0$，解得$v_2=\sqrt{\frac{2vR}{t}}$。