《2025年高中总复习优化设计高中物理》

10. 如图所示，一倾角$\theta = 30^{\circ}$的光滑斜面固定在水平地面上，斜面底端$P$处固定一挡板。长为$L = 5\ m$的薄木板置于斜面上，其质量$m_0 = 1\ kg$，下端位于$B$点，$l_{PB} = 5\ m$，薄木板中点处放有一质量$m = 1\ kg$的滑块(可视为质点)。已知滑块与薄木板之间的动摩擦因数$\mu = \frac{\sqrt{3}}{3}$，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，斜面上$AB$区间存在特殊力场，当滑块进入此区域时能对滑块产生一个沿斜面向上、大小为$F = 10\ N$的恒力作用，对木板无作用力，$AB$区域沿斜面的宽度为$l = 2.5\ m$，重力加速度$g$取$10\ m/s^2$，现由静止释放薄木板和滑块。

(1)求滑块在进入$AB$区域之前，薄木板运动的加速度大小$a_0$。
(2)求滑块第一次进入$AB$区间内受薄木板的摩擦力的大小和方向。
(3)若薄木板第一次与挡板碰撞后以原速率反弹，滑块与挡板碰撞后即粘在挡板上，停止运动。求薄木板第一次与挡板碰撞后沿斜面上升到最高点的时间$t$(忽略滑块从薄木板上滑下时对木板的影响，结果可保留根号)。

答案： 答案：
(1)5m/s²　
(2)5N，方向沿斜面向下　
(3)$\frac{\sqrt{2}}{2}$s
解析：
(1)滑块在进入AB区域之前，由于斜面光滑，将与木板一起以加速度a₀加速下滑
(m₀ + m)gsinθ = (m₀ + m)a₀
a₀ = gsinθ = 5m/s²。
(2)进入AB区间后，假设滑块与木板仍然相对静止，设下滑的加速度为a，对整体
(m₀ + m)gsinθ - F = (m₀ + m)a
对滑块，所受木板的静摩擦力Ff方向沿斜面向下，根据牛顿第二定律有
mgsinθ + Ff - F = ma
解得a = 0，Ff = 5N
又因为滑块与木板间的最大静摩擦力Fₘ = μmgcosθ = 5N，假设成立，即滑块受木板的静摩擦力方向沿斜面向下，大小为5N。
(3)设滑块和木板一起以加速度a₀加速下滑的末速度为v₁，则
v₁² = 2a₀l
滑块和木板一起匀速下滑l后，木板与挡板碰撞，此时对滑块有
mgsinθ - μmgcosθ = ma₁
解得a₁ = 0
即滑块在木板上仍然匀速下滑，对薄木板有
m₀gsinθ + μmgcosθ = m₀a₂
解得a₂ = 10m/s²，木板以此加速度匀减速上滑
设滑块离开薄木板的时间为t₁，有v₁t₁ + (v₁t₁ - $\frac{1}{2}$a₂t₁²) = l
此时薄木板的速度
v₂ = v₁ - a₂t₁
分离后，对薄木板有
m₀gsinθ = m₀a₃
薄木板接着以加速度a₃ = 5m/s²减速上滑至最高点，有
0 = v₂ - a₃t₂
所以薄木板沿斜面上升到最高点的时间为t = t₁ + t₂
解得t = $\frac{\sqrt{2}}{2}$s。