《2025年小题狂做高中物理必修第二册人教版巅峰版》

10. (2024 安徽铜陵期末)如图甲所示,水平杆$KO$可绕竖直转轴$O'O$转动,小环$A$套在水平杆$KO$上并与小球$B$通过细线连接,静止时细线与竖直方向的夹角$\theta = 37^{\circ}$,水平细线$P$端固定在转轴上,已知$m_{A} = 0.6\ kg$,$m_{B} = 0.4\ kg$,$AB$线长$L = 0.5\ m$,$BP$线长$d = 0.2\ m$.$(g$取$10\ m/s^{2}$,$\sin37^{\circ}$取$0.6$,$\cos37^{\circ}$取$0.8)$
(1)求装置静止时,$KO$杆对小环$A$的支持力和摩擦力大小.
(2)若装置以角速度$\omega_{0}$转动时,线$AB$与竖直方向的夹角仍为$37^{\circ}$,且$KO$杆与小环$A$间的摩擦力恰好为$0$,求角速度$\omega_{0}$和此时细线$BP$的张力$T$.
(3)若小环与杆间的动摩擦因数为$0.6$,当装置以不同的角速度匀速转动时,试在图乙中作出小环$A$受到的摩擦力随装置转动的角速度变化的$f - \omega^{2}$关系图像.

]

答案：
10.
(1)对A、B整体，根据力的平衡条件，有$N=(m_A+m_B)g$，$T_{PB}=f$，对小球B，根据力的平衡条件，有$T_{AB}\cos\theta=m_Bg$，$T_{AB}\sin\theta=T_{PB}$，联立解得$N=10 N$，$f=3 N$.
(2)设细线BP中的张力为$T$，细线AB中的张力为$T'$，对A，由牛顿第二定律，有$T'\sin\theta=m_A\omega_0^2(d+L\sin\theta)$，对B，由牛顿第二定律，有$T-T'\sin\theta=m_B\omega_0^2d$，$T'\cos\theta=m_Bg$，联立解得$\omega_0=\sqrt{10} rad/s$，$T=3.8 N$.
(3)小环A受到的最大静摩擦力为$f_m=\mu N=6 N$，当$\omega\leqslant\sqrt{10} rad/s$时，小环A受到的摩擦力方向水平向左，由牛顿第二定律，有$m_Bg\tan\theta-f=m_A\omega^2(d+L\sin\theta)$，即$f=m_Bg\tan\theta-m_A\omega^2(d+L\sin\theta)=3-0.3\omega^2(N)$.设转动的角速度为$\omega_2$时，小环A受到方向水平向右的最大静摩擦力，由牛顿第二定律，有$m_Bg\tan\theta+f_m=m_A\omega_2^2(d+L\sin\theta)$，解得$\omega_2=\sqrt{30} rad/s$，当$\sqrt{10} rad/s＜\omega\leqslant\sqrt{30} rad/s$时，有$f=m_A\omega^2(d+L\sin\theta)-m_Bg\tan\theta=0.3\omega^2-3(N)$.
综上可得$f=\begin{cases}3-0.3\omega^2(单位：N,\omega\leqslant\sqrt{10} rad/s)\\0.3\omega^2-3(单位：N,\sqrt{10} rad/s＜\omega\leqslant\sqrt{30} rad/s)\end{cases}$
故$f-\omega^2$关系图像如图所示.