《2025年小题狂做高中物理必修第二册人教版巅峰版》

10. (2024 广西河池期末)如图所示，冬奥会上甲、乙两名运动员在水平冰面上滑冰，恰好同时到达虚线 $ PQ $ 左侧的半圆滑道，然后分别沿半径为 $ r_{1} $ 和 $ r_{2}\left(r_{1}＞r_{2}\right) $ 的滑道做匀速圆周运动，运动半个圆周后匀加速沿直线冲向终点线. 已知甲、乙两名运动员的质量相等，他们做圆周运动时的向心力大小相等，直线冲刺时的加速度大小也相等. 下列说法正确的是(C)


A.在做圆周运动时，甲所用的时间比乙的短
B.在做圆周运动时，甲、乙的角速度大小相等
C.在冲刺时，甲到达终点线时的速度较大
D.在冲刺时，乙一定先到达终点线

答案： 10. C 解析：根据$F = m \frac{4 \pi^{2} r}{T^{2}}$，解得$T = 2 \pi \sqrt{\frac{mr}{F}}$，由于做圆周运动时的向心力大小相等，甲运动员圆周运动的半径$r_{1}$大于乙运动员圆周运动的半径$r_{2}$，可知甲运动员圆周运动的周期大于乙运动员圆周运动的周期，即在做圆周运动时，甲所用的时间比乙的长，故A错误；根据$F = m \omega^{2} r$，$r_{1} ＞ r_{2}$，由于做圆周运动时的向心力大小相等，可知甲运动员圆周运动的角速度小于乙运动员圆周运动的角速度，故B错误；冲刺时的初速度大小等于圆周运动的线速度大小，根据$F = m \frac{v^{2}}{r}$，解得$v = \sqrt{\frac{Fr}{m}}$，$r_{1} ＞ r_{2}$，由于做圆周运动时的向心力大小相等，可知甲运动员圆周运动的线速度大于乙运动员圆周运动的线速度，设到达终点线时的速度大小为$v_{1}$，冲刺匀加速的位移为$x$，则有$v_{1}^{2} - v^{2} = 2ax$，由于冲刺匀加速运动的位移与加速度均相等，可知匀加速的初速度较大的甲运动员到达终点线时的速度较大，故C正确；由A选项分析可知，甲、乙两名运动员在圆周运动过程所用时间$t_{甲} ＞ t_{乙}$，而在直线冲刺过程中，位移相等，但甲运动员的初速度较大，则加速阶段时间$t_{甲}' ＜ t_{乙}'$，到达终点的时间为两个阶段时间之和，由数学知识无法判断$(t_{甲} + t_{甲}')$和$(t_{乙} + t_{乙}')$的大小关系，则乙不一定先到达终点线，故D错误。

11. (多选，2024 湖南汉寿一中期中)如图所示，$ A $、$ B $ 为钉在光滑水平面上的两根细铁钉，将可视为质点的小球 $ C $ 用长为 $ L_{0} $ 的轻绳拴在铁钉 $ B $ 上，轻绳能承受足够大的拉力，$ t=0 $ 时刻，$ A $、$ B $、$ C $ 在同一直线上，给小球 $ C $ 一个垂直于轻绳的速度，使小球 $ C $ 绕着两根铁钉在水平面上做圆周运动，每次轻绳碰到铁钉时小球 $ C $ 的速度大小不变. 在第 $ 5 \mathrm{~s} $ 末时轻绳第一次碰到铁钉 $ A $，轻绳的拉力大小由 $ 4 \mathrm{~N} $ 突变为 $ 5 \mathrm{~N} $，小球 $ C $ 碰到铁钉时立即停止运动，下列说法正确的是(ABD)


A.$ A $、$ B $ 间的距离为 $ \frac{1}{5} L_{0} $
B.在 $ t=9 \mathrm{~s} $ 时轻绳第二次碰到铁钉
C.在 $ t=13 \mathrm{~s} $ 时轻绳的拉力大小为 $ 12 \mathrm{~N} $
D.从小球 $ C $ 开始运动到小球 $ C $ 停止，整个过程持续时间为 $ 15 \mathrm{~s} $

答案： 11. ABD 解析：碰到铁钉A前，轻绳的拉力为$4 N$，根据牛顿第二定律有$F_{1} = m \frac{v^{2}}{L_{0}} = 4 N$，第一次碰到铁钉A后，轻绳的拉力为$5 N$，根据牛顿第二定律有$F_{2} = m \frac{v^{2}}{L_{0} - x_{AB}} = 5 N$，联立解得A、B间的距离$x_{AB} = \frac{1}{5} L_{0}$，A正确；小球第一次碰到铁钉前的转动半径与第二次碰到铁钉前的转动半径之比为$r_{1}:r_{2} = L_{0}:(L_{0} - x_{AB}) = 5:4$，所以从第一次碰到铁钉到第二次碰到铁钉所用时间为$t_{2} = \frac{\pi r_{2}}{\pi r_{1}} t_{1} = 4 s$，可知在$t = 9 s$时轻绳第二次碰到铁钉，B正确；第二次碰到铁钉后，半径变为$r_{3} = L_{0} - 2x_{AB} = \frac{3}{5} L_{0}$，则从第三次碰到铁钉到第四次碰到铁钉所用时间为$t_{4} = \frac{\pi r_{4}}{\pi r_{3}} t_{3} = 2 s$，可知在$t = 13 s$时轻绳第四次碰到铁钉，则在$t = 14 s$时轻绳第四次碰到铁钉后，半径变为$r_{5} = L_{0} - 4x_{AB} = \frac{1}{5} L_{0}$，则从第四次碰到铁钉到第五次碰到铁钉所用时间为$t_{5} = \frac{\pi r_{5}}{\pi r_{4}} t_{4} = 1 s$，第五次碰到铁钉后，半径变为$r_{6} = L_{0} - 5x_{AB} = 0$，可知小球C刚好碰到铁钉，速度立即变为0，则从小球C开始运动到小球C停止，整个过程持续时间为$t_{总} = t_{1} + t_{2} + t_{3} + t_{4} + t_{5} = 15 s$，D正确。