《2025年小题狂做高中物理必修第二册人教版巅峰版》

7. (2024 山东青岛第二中学月考)有人设想:如果在地球的赤道上竖直向上建一座非常高的高楼,是否可以在楼上直接释放人造卫星呢?高楼设想图如图所示.已知地球自转周期为T,静止卫星轨道半径为r;高楼上有A、B两个可视为点的小房间,A到地心的距离为r/2,B到地心的距离为3r/2.
(1) A房间天花板上连一竖直轻弹簧,弹簧下端连一质量为m的小球,求弹簧给小球的作用力大小和方向;
(2) 从B房间窗口发射一颗小卫星,要让这颗小卫星能在与B点等高的圆轨道上绕地心与地球自转同向运行,应给这颗卫星加速还是减速?速度变化量Δv大小是多少?

答案： 7.（1）静止卫星在轨道上，万有引力提供向心力，则有$\frac{GMm}{r^{2}} = m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r$，A房间所在位置的加速度为$\frac{GMm}{(\frac{r}{2})^{2}} = ma$，
A房间所在位置的向心加速度为$a_{向} = \frac{r}{2} · \frac{4\pi^{2}}{T^{2}} = \frac{2\pi^{2}r}{T^{2}}$，
A房间所在位置的重力加速度为$g = a - a_{向}$，
小球受重力$mg$和弹簧拉力$F$，则有$F = mg$，
联立解得$F = \frac{14\pi^{2}mr}{T^{2}}$（方向从地心指向A房间）.
（2）小卫星在B房间时的线速度为$v_{1} = \frac{3r}{2} · \frac{2\pi}{T} = \frac{3\pi r}{T}$，
小卫星在与B卫星等高的轨道上运行时$\frac{GMm}{(\frac{3r}{2})^{2}} = \frac{mv_{2}^{2}}{\frac{3r}{2}}$，
又因为$\frac{GMm}{r^{2}} = m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r$，
联立解得$v_{2} = \frac{2\sqrt{6}\pi r}{3T}$，
由于$v_{2} ＜ v_{1}$，因此从B房间窗口发射一颗小卫星，要让这颗小卫星能在与B点等高的圆轨道上绕地心与地球自转同向运行，应给这颗卫星减速；速度变化量大小为$\Delta v = v_{1} - v_{2} = \frac{(9 - 2\sqrt{6})\pi r}{3T}$.

8. (2024 江苏阶段练习)如图甲所示,“星下点”是指卫星和地心连线与地球表面的交点.图乙是航天控制中心大屏幕上显示卫星FZ01的“星下点”在一段时间内的轨迹,已知地球同步卫星的轨道半径为r,卫星FZ01绕行方向与地球自转方向一致,下列说法正确的是 (D)


A.卫星FZ01线速度介于第一、二宇宙速度之间
B.卫星FZ01的周期是地球自转周期的3/2
C.卫星FZ01的轨道半径约为r/5
D.卫星FZ01可以记录到南、北两极点的气候变化

答案：
8.D 解析：第一宇宙速度是航天器最小发射速度，也是航天器最大运行速度，卫星FZ01线速度小于第一宇宙速度，故A错误；由题图乙可知，地球自转一圈，卫星运动3圈，卫星FZ01的周期是地球自转周期的$\frac{1}{3}$，故B错误；对地球同步卫星，根据万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{r^{2}} = m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r$，$T = 2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{GM}}$，卫星FZ01的周期为$T' = \frac{T}{3}$，则卫星FZ01的轨道半径与同步卫星的轨道半径关系为$r' = \frac{r}{\sqrt[3]{9}} \approx \frac{r}{2}$，故C错误；卫星FZ01纬度最高时$\theta = 30^{\circ}$，卫星离地球球心所在水平面的高度为$h = r'\sin30^{\circ} = \frac{r}{2}\sin30^{\circ} = \frac{r}{4}$，同步卫星轨道半径约为$r = 42400km$，地球半径约为$R = 6400km$，则$r \approx 6.6R$，因此$h = \frac{r}{4} ＞ R$，即卫星高度大于北极点的高度，卫星FZ01可以记录到北极点的气候变化，同理，卫星FZ01可以记录到南极点的气候变化，故D正确.