《2025年小题狂做高中物理必修第二册人教版巅峰版》

1. (2024 广东佛山质量检测)苏轼的诗句“定知玉兔十分圆,已作霜风九月寒,寄语重门休上钥,夜潮留向月中看”形象地描述了八月十五日看潮的情景.如图所示,太阳、月球和地球处于一条直线上,会在海面上引起“大潮”，已知太阳质量是月球质量的 2 700 万倍,日地距离是月地距离的 390 倍,以下说法正确的是 (D)


A.海水在 A 处受到太阳的引力比受到月球的引力小
B.海水在 B 处受到太阳的引力比受到月球的引力小
C.同一质量的海水在 A 处受到月球的引力比在 B 处小
D.同一质量的海水在 A 点受到太阳和月球引力的合力比 B 处小

答案： 1.D解析:海水在A处时,设海水的质量为m,到月球的距离为r,月球的质量为M,地球半径为R,则月球和太阳对海水的万有引力分别为$F_{月A}=G\frac{Mm}{r^{2}}$，$F_{太A}=G\frac{m_{太}m}{(r_{太}+2R)^{2}}=G\frac{2.7 × 10^{7}Mm}{(390r + 2R)^{2}} \approx G\frac{3 × 10^{4}}{169} \frac{Mm}{r^{2}}$，所以$F_{太A} ＞ F_{月A}$，故A错误;海水在B处时，月球和太阳对海水的万有引力分别为$F_{月B}=G\frac{Mm}{(r + 2R)^{2}} \approx G\frac{Mm}{r^{2}}$，$F_{太B}=G\frac{m_{太}m}{r_{太}^{2}}=G\frac{2.7 × 10^{7}Mm}{(390r)^{2}}=G\frac{3 × 10^{4}}{169}G\frac{Mm}{r^{2}}$，所以$F_{太B} ＞ F_{月B}$，故B错误;根据$F_{月}=G\frac{Mm}{r^{2}}$，可知海水在A点比B点距离月球更近，则万有引力大，故C错误;海水在A处与在B处所受的太阳的引力近似不变，在A处受到的月球的引力大，所以太阳和月球引力的合力较小，即同一质量的海水在A点受到太阳和月球引力的合力比B处小，故D正确。

2. (2024 北京丰台期中)牛顿推导出太阳与行星间的引力表达式后,进一步思考:太阳对行星的作用力、地球对月球的作用力、地球对树上苹果的作用力是不是同一种力呢? 并进行了著名的“月—地检验”.若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律,在已知月地距离约为地球半径 60 倍的情况下,需要验证 (A)

A.月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的 $\frac{1}{60^{2}}$
B.地球吸引月球的力约为地球吸引苹果力的 $\frac{1}{60^{2}}$
C.自由落体的物体在月球表面的加速度约为在地球表面加速度的 $\frac{1}{6}$
D.苹果在月球表面受到的引力约为其在地球表面受到引力的 $\frac{1}{60}$

答案： 2.A解析:设月球质量为$M_{月}$，地球质量为M,苹果质量为m,地球半径为r,则月球受到的万有引力为$F_{月}=\frac{GMM_{月}}{(60r)^{2}}$，苹果受到的万有引力为$F=\frac{GMm}{r^{2}}$，由于月球质量和苹果质量之间的关系未知，故二者之间万有引力的关系无法确定,B错误;根据牛顿第二定律,有$\frac{GMM_{月}}{(60r)^{2}}=M_{月}a_{月}$，$\frac{GMm}{r^{2}}=ma$，整理可以得到$a_{月}=\frac{1}{60^{2}}a$，A正确;在地球表面处有$G\frac{Mm'}{r_{地}^{2}}=m'g_{地}$，在月球表面处有$G\frac{M_{月}m'}{r_{月}^{2}}=m'g_{月}$，由于地球、月球本身的半径大小、质量大小关系未知，故无法求出月球表面和地球表面重力加速度的关系，C错误;由上述分析可知，无法求出月球表面和地球表面重力加速度的关系，故无法求出苹果在月球表面受到的引力与其在地球表面受到的引力之间的关系，D错误。

3. (2024 四川泸州期末)如图所示,在质量为 M 且均匀分布的半径为 R 的球内挖去半径为 r 的球,在球面两球的圆心连线上距球表面 R 的位置放一质量为 m 可视为质点的小球 A,已知 $r = \frac{1}{4}R$, 两球心 $OO_{1}$ 间距离为 $\frac{R}{2}$, 则下列说法错误的是 (B)


A.剩余部分对小球 A 的引力的方向在 OA 连线上
B.剩余部分对小球 A 的引力大小为 $\frac{63GMm}{256R^{2}}$
C.若将小球 A 放入图中的空腔内,则小球在其内的任何位置受到剩余部分对它的万有引力是相等的
D.被挖去部分的质量为 $\frac{M}{64}$

答案：
3.B解析:在质量为M且均匀分布的半径为R的球内挖去半径为$r=\frac{1}{4}R$的球，根据质量与体积的关系可知被挖去部分的质量为$M'=\frac{r^{3}}{R^{3}}M=\frac{M}{64}$，故D正确;未挖去空腔的球体对A的万有引力为$F=\frac{GMM}{(2R)^{2}}=\frac{GMm}{4R^{2}}$，挖去的球体对A的万有引力为$F'=\frac{GM'm}{(\frac{R}{2}+R)^{2}}=\frac{GMm}{144R^{2}}$，剩余部分对A的万有引力为$F''=F - F'=\frac{35GMm}{144R^{2}}$，方向在OA连线上，故A正确，B错误;在空腔中任取一点P，令$OP=r_{1}$，$O_{1}P=r_{2}$，则P点受到的引力如图所示，即合力为$\overrightarrow{F_{P}}=\overrightarrow{F_{1}}-\overrightarrow{F_{2}}$，其中$F_{1}=G\rho · \frac{4}{3}\pi r_{1}^{3}m\frac{1}{r_{1}^{2}}=G\rho · \frac{4}{3}\pi r_{1}m$，$F_{2}=G\rho · \frac{4}{3}\pi r_{2}^{3}m\frac{1}{r_{2}^{2}}=G\rho · \frac{4}{3}\pi r_{2}m$，可得$F_{P}=Gm\rho · \frac{4}{3}\pi r_{O_{1}O}$，可知小球在空腔内的任何位置受到剩余部分对它的万有引力是相同的，故C正确。

规律总结 割补法适用的条件
(1) 形状的要求：大球内挖掉小球，其他形状的物体的情境不可用此法。
(2) 质量分布的要求：残缺球的质量分布要均匀。
(3) 三心的位置关系：大球球心、小球球心、第三个球的球心（或质点），若三心共线，则三力共线，遵循代数运算法则；若三心不共线，则三力不共线，遵循矢量运算法则。

4. (2024 安徽芜湖期中)甲、乙两位同学分别站在地球的南极和赤道上,用大小相等的初速度将一个小球竖直向上抛出,小球落回手中的时间之比为 k,不计空气阻力.若已知地球密度为 $\rho$, 引力常量为 G,则乙同学随地球自转的角速度大小为 (A)

A.$2\sqrt{\frac{(1 - k)\pi G\rho}{3}}$
B.$\sqrt{\frac{(1 - k)\pi G\rho}{2}}$
C.$2\sqrt{\frac{k\pi G\rho}{3}}$
D.$\sqrt{\frac{k\pi G\rho}{2}}$

答案： 4.A解析:设南极处的重力加速度为$g_{0}$，小球落回手中的时间为$t_{0}$，赤道处的重力加速度为g，地球半径为R,小球落回手中的时间为t,由小球竖直上抛到达最高点得$v_{0}=g · \frac{t}{2}$，所以$\frac{g_{0}}{g}=\frac{t}{t_{0}}=k$，在南极，由万有引力提供重力，有$\frac{GMm}{R^{2}}=mg_{0}$，在赤道，由万有引力提供小球的重力和小球随地球自转的向心力，有$\frac{GMm}{R^{2}}=mg + m\omega^{2}R$，又$\rho=\frac{M}{V}$，$V=\frac{4}{3}\pi R^{3}$，联立解得$\omega = 2\sqrt{\frac{(1 - k)\pi G\rho}{3}}$，故A正确。
规律总结 万有引力与重力的关系可分为：
1. 人上（空中）：万有引力与重力无区别；
2. 人间（在地球上）：重力只是万有引力的一个分力（注意分析两极—重力与万有引力相同、赤道—重力与地球对物体的支持力大小相等）；
3. 地下：利用均匀球壳对球壳内任意质点的引力为零处理即要求质点在地球下某点的引力，只要以该点到地心的距离为球心的球表面处的引力。