《2025年小题狂做高中物理必修第二册人教版巅峰版》

10. （2025 北京交通大学附属中学开学考）暗物质的研究是目前粒子物理学、天文物理学等学科研究的课题。构建模型研究暗物质，一直是重要的科学思维方法，暗物质与星体间的相互作用遵守万有引力定律。
（1）科学家发现，宇宙中有许多双星系统。双星系统是由两个星体构成，其中每个星体的线度（直径）都远小于两星体间的距离，一般双星系统距离其他星体很远，可以当做孤立系统处理。已知某双星系统中每个星体的质量都是 $ M_0 $，两者相距 $ L $，它们正围绕两者连线的中点做匀速圆周运动，已知引力常量为 $ G $。求：
① 该双星系统的运动的角速度大小 $ \omega $；
② 科学家通过光学实验观测计算得到的角速度大小 $ \omega' $ 与上述①中角速度 $ \omega $ 有些差异，为了解释这个问题，目前有理论认为，在宇宙中可能存在一种观测不到的暗物质可以提供依据。其模型简化为：假定在以这两个星体连线为直径的球体内，均匀分布着密度为 $ \rho $ 的暗物质，不考虑其他星体影响，根据这一模型可以计算该双星系统的运动的角速度 $ \omega' $，试求出角速度大小之比 $ \dfrac{\omega'}{\omega} $。
（2）螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为 $ R $ 的球体内，球体外仅有极少的恒星，球体内物质总质量为 $ M $，可认为均匀分布。且已知球壳对壳内物体的引力为零。球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为 $ r $，科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的角速度大小 $ \omega $ 随 $ \dfrac{1}{r} $ 的变化关系如图所示。根据在 $ r ＞ R $ 范围内的恒星运动的 $ \omega $ 与 $ \dfrac{1}{r} $ 成正比，科学家预言螺旋星系周围区域（$ r ＞ R $）存在一种暗物质。若暗物质质量均匀分布，请建构模型，估算该区域 $ r = nR $ 内暗物质密度是球体 $ r = R $ 内物质密度的多少倍？

答案：
(1)①对于双星系统，根据万有引力提供向心力，有$G\frac{M_0^2}{L^2} = M_0\omega^2\frac{L}{2}$，可得$\omega = \sqrt{\frac{2GM_0}{L^3}}$。
②设暗物质的质量为m，则$G\frac{M_0^2}{L^2} + G\frac{\rho · \frac{4}{3}\pi(\frac{L}{2})^3M_0}{(\frac{L}{2})^2} = M_0(\omega')^2\frac{L}{2}$，由上式解得$\frac{\omega'}{\omega} = \sqrt{1 + \frac{2\rho\pi L^3}{3M_0}}$。
(2)设球体$r = R$内物质的密度为$\rho$，则$M = \frac{4}{3}\pi R^3\rho$，当$r = R$时，根据$G\frac{Mm}{R^2} = m\omega^2R$，可得$\frac{4}{3}\pi G\rho = \omega^2$，设暗物质密度为$k\rho$，则$G\frac{\frac{4}{3}\pi R^3\rho · m}{(nR)^2} + G\frac{\frac{4}{3}\pi k\rho(nR)^3 · m}{(nR)^2} - G\frac{\frac{4}{3}\pi \rho R^3· m}{(nR)^2} = m\omega_1^2nR$，由题图可知$\omega_1 = \frac{1}{n}\omega$，解得$k = \frac{n - 1}{n^3 - 1}=\frac{1}{n^2 + n + 1}$，即该区域$r = nR$内暗物质密度是球体$r = R$内物质密度的$\frac{1}{n^2 + n + 1}$倍。