《2025年小题狂做高中物理必修第二册人教版巅峰版》

9. (多选,2024 重庆阶段测试)从高 $ H $ 处的 $ M $ 点先后水平抛出两个小球 1 和 2,轨迹如图所示,球 1 与地面碰撞一次后刚好越过竖直挡板 $ AB $,落在水平地面上的 $ N $ 点,球 2 刚好直接越过竖直挡板 $ AB $,也落在 $ N $ 点.设球 1 与地面的碰撞是弹性碰撞(碰撞前后水平方向的分速度不变,竖直方向的分速度大小不变、方向相反),忽略空气阻力,则 (AD)


A.小球 1、2 的初速度之比为 $ 1:3 $
B.小球 1、2 的初速度之比为 $ 1:4 $
C.竖直挡板 $ AB $ 的高度 $ h = \dfrac{4}{5}H $
D.竖直挡板 $ AB $ 的高度 $ h = \dfrac{3}{4}H $

答案： 9.AD解析:设$M$点到$N$点的水平距离为$L$，球2整个运动过程的时间为$t$，有$H = \frac{1}{2} g t_2^2$，解得$t_2 = \sqrt{\frac{2H}{g}}$，可得$L = v_2 t_2$，球1与地面碰撞前后竖直方向分速度大小不变、方向相反，根据对称性可知，球1与地面碰撞后到达的最高点与初始高度相同为$H$，球1在水平方向上一直做匀速直线运动，有$L = v_1 · t_1$，$t_1 = 3t_2$，即$L = 3v_1 t_2$，联立解得$\frac{v_1}{v_2} = \frac{1}{3}$，故A正确，B错误；设球1与地面碰撞时竖直方向的分速度大小为$v_{y1}$，碰撞点到$M$点和$B$点的水平距离分别为$x_1$、$x_2$，有$v_{y1}^2 = 2gH$，设球1到达$A$点时竖直方向的分速度大小为$v_{y2}$，将球1与地面碰撞后到达最高点时的过程反向来看，可得$v_{y2}^2 = 2g(H - h)$，球2刚好越过挡板$AB$的时间为$t' = \sqrt{\frac{2(H - h)}{g}}$，水平方向的位移关系有$v_2 t' = x_1 + x_2$，即$v_2 · \sqrt{\frac{2(H - h)}{g}} = v_1 · \sqrt{\frac{2H}{g}} + \frac{\sqrt{2gH} - \sqrt{2g(H - h)}}{g}$，解得$h = \frac{3}{4} H$，故C错误，D正确.

10. (2024 山东实验中学检测)某日,某老师看到两名小朋友扔沙包,两沙包同时发出,并同时碰到对方.突然想到以下情境来考查大家:设在水平地面上有 $ A $、$ B $ 两点,小朋友分别从 $ A $、$ B $ 两点以同样大小的初速度 $ v_0 = 20 \, m/s $ 同时抛出两沙包,$ A $ 沙包沿较高曲线飞行,$ B $ 沙包沿较低曲线飞行,两沙包都恰好落在对方的抛出点,如图所示.已知 $ A $ 沙包的抛射角为 $ 60° $.

(1) 求 $ A $、$ B $ 抛出点间的距离和 $ B $ 沙包的抛射角.
(2) 抛出后经过多长时间两沙包之间的距离最近?

答案：
10.
(1) A沙包做斜抛运动，竖直方向做竖直上抛运动，则有$-v_0 \sin \alpha = v_0 \sin \alpha - gt_1$，可知$A$、$B$两点之间的距离为$L = v_0 \cos \alpha · t_1$，解得$L = \frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g} = 20 \sqrt{3} m$.
B沙包做斜抛运动，竖直方向做竖直上抛运动，则有$-v_0 \sin \beta = v_0 \sin \beta - gt_2$，可知$A$、$B$两点之间的距离为$L = v_0 \cos \beta · t_2$，解得$L = \frac{v_0^2 \sin 2\beta}{g}$，则有$\sin 2\alpha = \sin 2\beta$，其中$\alpha \neq \beta$，解得$2\alpha = 180° - 2\beta$，则$\beta = 30°$.
(2) 以$A$为参考系，则$B$相对$A$做匀速直线运动，可知当$A$沙包不动时，$B$沙包以如图所示的速度$v_{BA}$运动，则两沙包最近的距离即为图中的$AC$，结合上述抛射角的关系可知$v_A \perp v_B$，由于$v_A = v_B = v_0$，所以有$v_{BA} = \sqrt{2} v_0$，根据几何关系有$\delta = 45° - \beta = 15°$，则最近距离$AC = L \sin 15°$，根据三角函数关系可知$\cos 15° = \cos (45° - 30°) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$，两沙包运动到它们之间距离最短处所需要的时间为$t_{min} = \frac{L \cos 15°}{v_{BA}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{4} s$.