《2025年小题狂做高中物理必修第二册人教版巅峰版》

6. (2024 山东泰安期中)宇宙中存在一些离其他星体较远、质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在这样一种直线三星的构成形式，如图所示，三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为 $ L $ 的圆轨道上运行。下列说法正确的是(B)


A.直线三星系统中，环绕星做圆周运动的线速度大小为 $ \sqrt{\dfrac{Gm}{L}} $
B.直线三星系统中，环绕星做圆周运动的周期为 $ 4\pi\sqrt{\dfrac{L^3}{5Gm}} $
C.中央星对环绕星的万有引力提供环绕星做圆周运动的全部向心力
D.如果环绕半径变为原来的 $ 4 $ 倍，周期将变为原来的 $ \dfrac{1}{8} $

答案： B 解析:根据$G\frac{m^2}{L^2} + G\frac{m^2}{(2L)^2} = m\frac{v^2}{L} = m\frac{4\pi^2}{T^2}L$，解得$v = \sqrt{\frac{5Gm}{4L}}$，$T = 4\pi\sqrt{\frac{L^3}{5Gm}}$，A错误，B正确；中央星以及另外一个环绕星对环绕星的万有引力之和提供环绕星做圆周运动的全部向心力，C错误；根据$T = 4\pi\sqrt{\frac{L^3}{5Gm}}$，如果环绕半径变为原来的4倍，周期将变为原来的8倍，D错误。

7. (2024 河北保定期中)我国计划在 2030 年前实现载人登月，如图所示为登月飞船飞行任务中的某个阶段。登月飞船绕月球做顺时针方向的匀速圆周运动，轨道半径为 $ r $，周期为 $ T $；月球在同一平面内绕地球做顺时针方向的匀速圆周运动，公转周期为 $ T_0 $。已知引力常量为 $ G $，下列说法正确的是(D)


A.由已知信息可求出登月飞船的质量
B.由已知信息可求出地球的质量
C.由图示位置到地、月、飞船再次共线，所用时间为 $ \dfrac{T_0T}{(T_0 - T)} $
D.由图示位置到地、月、飞船再次共线，所用时间为 $ \dfrac{T_0T}{2(T_0 - T)} $

答案： D 解析:设地球质量为$M_{地}$，月球质量为$M_{月}$，飞船质量为$M_{船}$，月球到地球的距离为$r_1$，飞船绕月球做圆周运动，有$G\frac{M_{月}M_{船}}{r^2} = M_{船}(\frac{2\pi}{T})^2r$，飞船质量$M_{船}$被约掉，不能求出登月飞船的质量，A错误；月球绕地球做圆周运动，有$G\frac{M_{地}M_{月}}{r^2} = M_{月}(\frac{2\pi}{T_0})^2r_1$，得$M_{地} = \frac{4\pi^2r_1^3}{GT_0^2}$，因月球到地球的距离$r_1$未知，故无法求出地球的质量，B错误；设由图示位置到地、月、飞船再次共线，所用时间为t，则$\frac{t}{T} - \frac{t}{T_0} = \frac{1}{2}$，解得$t = \frac{T_0T}{2(T_0 - T)}$，C错误，D正确。

8. (多选，2025 湖南长沙长郡中学月考)科学家通过研究发现，行星绕恒星的运动轨迹其实并不是正圆，而是一个椭圆。如图所示为地球绕太阳的运动轨迹，$ BD $ 是椭圆的长轴，$ AC $ 是椭圆的短轴，$ O $ 是椭圆中心，已知 $ L_{OA} = b $，$ L_{OB} = a $，且地球绕太阳一周的时间为 $ T $，椭圆面积为 $ S = \pi ab $。下列说法正确的是(BC)


A.地球在 $ B $ 点和 $ D $ 点的速度关系为 $ \dfrac{v_B}{v_D} = \dfrac{a}{b} $
B.地球在绕太阳运动过程中在 $ B $、$ D $ 两点由太阳对地球的引力提供向心力
C.根据题中条件可知，太阳的质量为 $ M = \dfrac{4\pi^2 a^3}{GT^2} $
D.地球从 $ A $ 运动到 $ B $ 所用时间为 $ t = \dfrac{2\pi ab - b\sqrt{a^2 - b^2}}{2\pi ab}T $

答案：
BC 解析:根据开普勒第二定律，在B点和D点分别取一小段微元，可知$v_Br_1\Delta t = v_Dr_2\Delta t$，而$r_1 = a - \sqrt{a^2 - b^2}$，$r_2 = a + \sqrt{a^2 - b^2}$，所以$\frac{v_B}{v_D} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{a + \sqrt{a^2 - b^2}}{a - \sqrt{a^2 - b^2}}$，故A错误；地球只有在B点和D点才是太阳对地球的引力提供向心力，故B正确；根据开普勒第三定律可得$\frac{a^3}{T^2} = k$，$G\frac{Mm}{r^2} = m\frac{4\pi^2}{T^2}r$，且$\frac{r^3}{T^2} = k$，可知$k = \frac{GM}{4\pi^2}$，可得太阳的质量为$M = \frac{4\pi^2a^3}{GT^2}$，故C正确；如图所示，阴影部分的面积为$S_1 = \frac{1}{4}\pi ab - \frac{1}{2}b\sqrt{a^2 - b^2}$，根据开普勒第二定律可知，地球从A运动到B所用时间为$t = \frac{S_1}{\pi ab}T = \frac{\pi ab - 2b\sqrt{a^2 - b^2}}{4\pi ab}T$，故D错误。

9. （2024 福建泉州期末）1687 年牛顿提出了万有引力定律，并通过“月—地检验”证明了地球对地面物体的引力与地球对月球的引力具有相同的性质。
（1）在地球表面从离水平地面高 $ h = 4.9\ m $ 处，以 $ v_0 = 3\ m/s $ 的初速度水平抛出一小石块，其落地点到抛出点的水平距离为 $ x = 3\ m $。求地球表面的重力加速度大小 $ g $。
（2）月球绕地球公转的周期约为 $ T = 2.4 × 10^6\ s $，地球的半径约为 $ R = 6.4 × 10^6\ m $，月球绕地球公转的半径 $ r $ 约为地球半径 $ R $ 的 $ 60 $ 倍，取 $ \pi^2 = 9.8 $。估算 $ g $ 与月球的向心加速度大小 $ a $ 的比值 $ k_1 $。
（3）请结合万有引力定律，求出地球表面的重力加速度大小 $ g' $ 与月球轨道位置的重力加速度大小 $ a' $ 的比值 $ k_2 $；通过比较 $ k_1 $ 与 $ k_2 $，论证地球对小石块的力与地球对月球的力都是万有引力。

答案：
(1)石块做平抛运动，水平初速度$v_0 = 3m/s$，水平位移为$x = 3m$，竖直位移为$y = 4.9m$，设石块运动时间为t，地球表面的重力加速度大小为g，由平抛运动规律，有$x = v_0t$，$y = \frac{1}{2}gt^2$，联立解得$g = 9.8m/s^2$。
(2)月球绕地球公转的周期$T = 2.4 × 10^6s$，轨道半径$r = 60 × 6.4 × 10^6m$，设月球绕地球公转的向心加速度为a，由向心加速度公式有$a = \frac{4\pi^2}{T^2}r$，则g与月球的向心加速度大小a的比值$k_1 = \frac{g}{a} = 3750$。
(3)设地球的质量为M，石块的质量为m，月球的质量为$m'$，地球的半径为R，在地球表面上万有引力近似等于重力，有$G\frac{Mm}{R^2} = mg$，对月球，由万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm'}{r^2} = m'a'$，联立解得$k_2 = \frac{g}{a'} = \frac{r^2}{R^2} = 3600$，$\frac{k_2}{k_1}= 0.96$，可以证明地球对小石块的力与地球对月球的力都是万有引力。