《2025年小题狂做高中物理必修第二册人教版巅峰版》

1. (2024 河南信阳期末联考)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，转动周期相同，我们称之为双星系统. 星球 $ A $ 和 $ B $ 的质量分别为 $ m_A $、$ m_B $ 且 $ m_A ＜ m_B $. 如图所示，由星球 $ A $ 和星球 $ B $ 构成的双星系统绕其连线上的点 $ O $ 做匀速圆周运动，引力常量 $ G $ 已知，则下列说法正确的是(D)


A.距离 $ O $ 点远的是星球 $ B $
B.星球 $ A $ 的线速度小于星球 $ B $ 的线速度
C.若双星之间的距离增大，转动稳定后，双星匀速转动的角速度均变大
D.若双星之间的距离增大，转动稳定后，星球 $ A $ 和星球 $ B $ 中心距离的三次方与星球 $ A $ 转动周期的二次方的比值仍不变

答案： 1.D解析:设两星球的距离为$L$，做圆周运动的半径分别为$r_{A}$和$r_{B}$，根据向心力公式，有$G\frac{m_{A}m_{B}}{L^{2}} = m_{A}\omega^{2}r_{A}$，$G\frac{m_{A}m_{B}}{L^{2}} = m_{B}\omega^{2}r_{B}$，可得$\frac{r_{A}}{r_{B}} = \frac{m_{B}}{m_{A}}$，可知质量越大，轨道半径越小，由于$m_{A} ＜ m_{B}$，所以$r_{A} ＞ r_{B}$，所以距离$O$点远的是星球$A$，A错误；根据$v = \omega r$，可知半径越大，线速度越大，所以$v_{A} ＞ v_{B}$，B错误；根据向心力公式，有$G\frac{m_{A}m_{B}}{L^{2}} = m_{A}\omega^{2}r_{A}$，$G\frac{m_{A}m_{B}}{L^{2}} = m_{B}\omega^{2}r_{B}$，$r_{A} + r_{B} = L$，联立可得$\omega = \sqrt{\frac{G(m_{A} + m_{B})}{L^{3}}}$，可知若双星之间的距离增大，转动稳定后，双星匀速转动的角速度均变小，C错误；根据$\omega = \frac{2\pi}{T}$，及$\omega = \sqrt{\frac{G(m_{A} + m_{B})}{L^{3}}}$，可得$\frac{L^{3}}{T^{2}} = G\frac{(m_{A} + m_{B})}{4\pi^{2}}$，可知星球$A$和星球$B$中心距离的三次方与星球$A$转动周期的二次方的比值是定值，D正确。

2. (多选，2024 重庆永川期中)天文观测已经证实，三星系统是常见的，甚至在已知的大质量恒星群中占主导地位. 如图所示，$ P $、$ O $、$ S $ 三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，已知等边三角形边长为 $ l $，三颗星做匀速圆周运动的周期为 $ T $，引力常量为 $ G $，忽略其他星体对它们的引力作用，则(BC)


A.三颗星的质量可能不相等
B.三颗星的质量均为 $ \frac{4\pi^2 l^3}{3GT^2} $
C.三颗星的线速度大小均为 $ \frac{2\sqrt{3}\pi l}{3T} $
D.任意一颗星所受的向心力大小为 $ \frac{16\pi^4 l^4}{9GT^4} $

答案： 2.BC解析:根据题意可知其中任意两颗星对第三颗星的合力指向圆心，则这两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于这两颗星到第三颗星的距离相同，故这两颗星的质量相同，同理可得三颗星的质量一定相同，A错误；轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，为$r = \frac{\sqrt{3}}{3}l$，设三颗星的质量为$m$，根据牛顿第二定律，有$2\frac{Gm^{2}}{l^{2}}\cos 30^{\circ} = m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r$，解得$m = \frac{4\pi^{2}l^{3}}{3GT^{2}}$，B正确；线速度大小为$v = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\sqrt{3}\pi l}{3T}$，C正确；任意一颗星所受的向心力大小为$F_{n} = m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r = \frac{16\sqrt{3}\pi^{4}l^{4}}{9GT^{4}}$，D错误。

3. (2025 重庆大联考)据报道，中国科学院上海天文台捕捉到一个“四星系统”. 两种可能的四星系统构成如图所示，第一种如图甲所示，四颗星稳定地分布在正方形上，均绕正方形中心做匀速圆周运动，第二种如图乙所示，三颗星位于等边三角形的三个顶点上，第四颗星相对其他三星位于三角形中心，位于顶点的三颗星绕三角形中心运动. 若两系统中所有星的质量都相等，$ AB = CD $，则第一、二种四星系统周期的比值为(B)



A.$ \frac{2}{3}\sqrt{\frac{\sqrt{3} + 3}{\sqrt{2} + 4}} $
B.$ \frac{3}{2}\sqrt{\frac{\sqrt{3} + 3}{\sqrt{2} + 4}} $
C.$ \frac{3}{2}\sqrt{\frac{\sqrt{2} + 4}{\sqrt{3} + 3}} $
D.$ \frac{2}{3}\sqrt{\frac{\sqrt{3} + 3}{\sqrt{2} + 2}} $

答案：
3.B解析:根据题意，设$AB = CD = a$，由几何关系可知，图甲中对角线上两颗星的距离为$r_{1} = \sqrt{2}a$，图甲中每颗星受力情况如图1所示，由万有引力公式$F = \frac{GMm}{r^{2}}$，可得$F_{1} = \frac{Gmm}{a^{2}}$，$F_{2} = \frac{Gmm}{(\sqrt{2}a)^{2}}$，则每颗星所受合力为$F_{合1} = \sqrt{2F_{1}^{2} + F_{2}^{2}} = \frac{(2\sqrt{2} + 1)Gm^{2}}{2a^{2}}$，由合力提供向心力有$F_{合1} = m\frac{4\pi^{2}}{T_{1}^{2}} · \frac{\sqrt{2}}{2}a$，解得$T_{1} = 2\pi a\sqrt{\frac{2a}{(4 + \sqrt{2})Gm}}$，根据题意，由几何关系可知，图乙中，三角形顶点上的星体间的距离为$r_{2} = \frac{2\sqrt{3}}{3}a$，图乙中三角形顶点上的星受力情况如图2所示，由万有引力公式$F = \frac{GMm}{r^{2}}$，可得$F_{3} = \frac{Gmm}{(\frac{2\sqrt{3}}{3}a)^{2}}$，$F_{4} = \frac{3Gm^{2}}{4a^{2}}$，则三角形顶点上的星所受合力为$F_{合2} = 2F_{3}\cos 30^{\circ} + F_{4} = \frac{(3\sqrt{3} + 9)Gm^{2}}{4a^{2}}$，由合力提供向心力有$F_{合2} = m\frac{4\pi^{2}}{T_{2}^{2}} · \frac{2}{3}a$，解得$T_{2} = \frac{4\pi a}{3}\sqrt{\frac{2a}{(\sqrt{3} + 3)Gm}}$，故$\frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{3}{2\sqrt{\sqrt{2} + 4}}$，故B正确。
　　　 　　　

4. (河北沧州检测)宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响. 稳定的三星系统存在两种基本形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为 $ R $ 的轨道上运行，如图甲所示，周期为 $ T_1 $；另一种是三颗星位于边长为 $ R $ 的等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆运行，如图乙所示，周期为 $ T_2 $，则 $ T_1 : T_2 $ 为(B)



A.$ \sqrt{\frac{3}{5}} $
B.$ 2\sqrt{\frac{3}{5}} $
C.$ 3\sqrt{\frac{3}{5}} $
D.$ 4\sqrt{\frac{3}{5}} $

答案： 4.B解析:第一种形式下，左边星体受到中间星体和右边星体两个万有引力作用，它们的合力充当向心力，则$G\frac{mm}{R^{2}} + G\frac{mm}{(2R)^{2}} = m\frac{4\pi^{2}}{T_{1}^{2}}R$，解得$T_{1} = 4\pi R\sqrt{\frac{R}{5Gm}}$；第二种形式下，三颗星体之间的距离均为$R$，由几何关系知，三颗星体做圆周运动的半径为$R' = \frac{\sqrt{3}}{3}R$，任一星体所受的合力充当向心力，即$F_{合} = 2G\frac{mm}{R^{2}} · \cos 30^{\circ} = m\frac{4\pi^{2}}{T_{2}^{2}} · \frac{\sqrt{3}}{3}R$，解得$T_{2} = 2\pi R\sqrt{\frac{R}{3Gm}}$，则$\frac{T_{1}}{T_{2}} = 2\sqrt{\frac{3}{5}}$，故B正确。