《2025年小题狂做高中物理必修第二册人教版巅峰版》

10. （江苏苏州质检）某公园的台阶共有$50$级，侧视图如图所示，已知每级台阶的水平距离$s = \frac{\sqrt{3}}{5}m$，高度$h = \frac{1}{5}m$，某同学从最上面平台边缘的$A$点将小球以初速度$v_0$水平抛出，空气阻力不计，重力加速度$g$取$10m/s^2$。
（1）要使小球直接落到地面，求初速度$v_0$的范围。
（2）若$v_0 = 8m/s$，求小球首先落到哪一级台阶上。
（3）若将小球斜向上抛出，恰好能够直接打到第$50$级台阶的最右端，求最小初速度的大小。

答案：
10.
(1)小球做平抛运动,轨迹如图甲所示.可知小球刚好直接落到地面时需擦过第50级台阶的最右端,由平抛运动规律,有$50h = \frac{1}{2} g t^{2}$,$50s = v_{0 \min} t_{1}$,联立解得$v_{0 \min} = 5 \sqrt{6} m/s$,故要使小球直接落到地面,初速度$v_{0}$的范围为$v_{0} \geqslant 5 \sqrt{6} m/s$.

(2)若$v_{0}=8 m/s$,设小球会落到第$n$级台阶上,由平抛运动规律,有$n h = \frac{1}{2} g t_{2}^{2}$,$n s = v_{0} t_{2}$,联立解得$n = \frac{64}{3}$,$n$向上取整后得$n = 22$,故小球会落在第22级台阶上.
(3)设小球的初速度方向与水平方向的夹角为$\theta$,如图乙所示,则在竖直方向上,有$50h = -v_{0} t \sin \theta + \frac{1}{2} g t^{2}$,水平方向上,有$50s = v_{0} t \cos \theta$,联立解得$v_{0}^{2} = \frac{1500}{5 \cos 2 \theta + 5 \sqrt{3} \sin 2 \theta + 5} = \frac{1500}{10 \sin (2 \theta + 30^{\circ}) + 5}$,由数学知识可知当$\theta = 30^{\circ}$时,抛出时的初速度最小,最小值为$v_{0 \min} = 10 m/s$.