《2025年小题狂做高中物理必修第二册人教版巅峰版》

7. (多选，2024 江西南昌期中)行星外围有一圈厚度为$d$的发光带(发光的物质)，简化为如图甲所示的模型，$R$为该行星除发光带以外的半径.现不知发光带是该行星的组成部分还是环绕该行星的卫星群，某科学家做了精确的观测，发现发光带绕行星中心的运行速度的平方与到行星中心距离$r$的倒数之间的关系如图乙所示(图线斜率$k$已知)，下列说法正确的是(BC)



A.发光带是该行星的组成部分
B.该行星的质量$M=\frac{k}{G}$
C.行星表面的重力加速度$g=\frac{k}{R^{2}}$
D.该行星的平均密度$\rho=\frac{3k}{4\pi G(R + d)^{3}}$

答案： 7.BC 解析：若发光带是该行星的组成部分，则其角速度与行星自转角速度相同，应有$v = r\omega$，$v$与$r$应成正比，与题图乙不符，因此发光带不是该行星的组成部分，A错误；设发光带是环绕该行星的卫星群，由万有引力提供向心力，则有$G \frac{Mm}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$，得该行星的质量为$M = \frac{v^2 r}{G}$，又$\frac{v^2}{r} - \frac{1}{r}$图像的斜率为$k = \frac{v^2}{r} = v^2 r$，联立解得$M = \frac{k}{G}$，B正确；当$r = R$时，有$mg = m \frac{v^2_0}{R}$，得行星表面的重力加速度为$g = \frac{v^2_0}{R} = \frac{v^2_0 R}{R^2} = \frac{k}{R^2}$，C正确；该行星的平均密度为$\rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{3k}{4\pi G R^3}$，D错误.

8. (2024 安徽亳州月考)中国航天员计划在 2030 年前登上月球，假设宇宙飞船落到月面前绕月球表面做角速度为$\omega$的匀速圆周运动，运动半径可近似为月球半径.航天员登上月球后，做了一次斜上抛运动的实验.如图所示，在月面上，小球从$A$点斜向上抛出，经过最高点$B$运动到$C$点，已知小球在$A$、$C$两点的速度与竖直方向的夹角分别为 53°、37°，小球在$B$点的速度为$v$，小球从$A$到$C$的运动时间为$t$，引力常量为$G$，取$\sin53^{\circ}=0.8$，$\cos53^{\circ}=0.6$，忽略月球自转的影响，求：
(1)月球的密度(假设月球为匀质球体)以及月面的重力加速度.
(2)宇宙飞船绕月球表面做匀速圆周运动的线速度以及月球的质量.
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答案： 8.
(1)根据万有引力提供向心力，有$G \frac{Mm}{R^2} = m\omega^2 R$，又$\rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}$，可得月球的密度$\rho = \frac{3\omega^2}{4\pi G}$.在A点时的竖直分速度为$v_{Ay} = v \tan 37° = \frac{3}{4}v$，在C点时的竖直分速度为$v_{Cy} = v \tan 53° = \frac{4}{3}v$，取竖直向上为正，则从A点到C点由运动学公式，有$-v_{Cy} = v_{Ay} - gt$，解得$g = \frac{25v}{12t}$.
(2)在月球表面，万有引力近似等于重力，有$G \frac{Mm}{R^2} = mg = m\omega^2 R$，可得$R = \frac{g}{\omega^2}$，宇宙飞船绕月球表面做匀速圆周运动的线速度为$v_0 = \omega R = \frac{g}{\omega} = \frac{25v}{12\omega t}$，则月球的质量$M = \rho · \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{g^3}{G\omega^4} = \frac{15625v^3}{1728Gt^3 \omega^4}$.

9. (2024 安徽检测)如图所示，有两颗卫星绕某星球做椭圆轨道运动，两颗卫星的近地点均与星球表面很近(可视为相切)，卫星 1 和卫星 2 的轨道远地点到星球表面的最近距离分别为$h_{1}$、$h_{2}$，卫星 1 和卫星 2 的环绕周期之比为$k$.忽略星球自转的影响，已知引力常量为$G$，星球表面的重力加速度为$g_{c}$.星球的平均密度为(A)


A.$\frac{3g_{c}(1 - k^{\frac{2}{3}})}{2\pi G(h_{2}k^{\frac{2}{3}} - h_{1})}$
B.$\frac{3g_{c}(1 - k^{\frac{3}{2}})}{2\pi G(h_{2}k^{\frac{3}{2}} - h_{1})}$
C.$\frac{3g_{c}(1 - k^{\frac{3}{2}})}{4\pi G(h_{2}k^{\frac{3}{2}} - h_{1})}$
D.$\frac{3g_{c}(1 - k^{\frac{2}{3}})}{4\pi G(h_{2}k^{\frac{2}{3}} - h_{1})}$

答案： 9.A 解析：卫星一、卫星二轨道的半长轴分别为$a_1 = \frac{2R + h_1}{2}$，$a_2 = \frac{2R + h_2}{2}$，由开普勒第三定律得$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{a^3_1}{a^3_2}} = k$，整理得$R = \frac{h_1 - k^{\frac{2}{3}} h_2}{2(k^{\frac{2}{3}} - 1)}$，星球表面的重力加速度为$g_$，根据万有引力提供重力得$G \frac{Mm}{R^2} = mg_$，星球质量的表达式为$M = \frac{4\pi}{3} \rho R^3$，联立解得$\rho = \frac{3g_c}{4\pi GR} = \frac{3g_c (1 - k^{\frac{2}{3}})}{2\pi G (h_2 k^{\frac{2}{3}} - h_1)}$，故A正确.