《2025年小题狂做高中物理必修第二册人教版巅峰版》

5. (2024 四川遂宁期末)如图甲、乙所示，分别用长度均为 $ 1m $ 的轻质细绳和轻质细杆的一端固定连接质量均为 $ 1kg $ 的小球 $ A $、$ B $，另一端分别固定在 $ O $、$ O' $ 点，现让 $ A $、$ B $ 两小球分别绕 $ O $、$ O' $ 点在竖直平面内做圆周运动，小球均可视为质点，不计空气阻力，重力加速度 $ g $ 取 $ 10m/s^2 $。下列说法不正确的是(C)


A.$ A $ 球做圆周运动到最高点的最小速度为 $ \sqrt{10}m/s $
B.$ B $ 球做圆周运动到最高点的最小速度为 $ 0 $
C.某次 $ A $、$ B $ 两球运动到最高点对绳、杆的作用力大小分别为 $ 2N $、$ 5N $，则此时 $ A $、$ B $ 两球经过最高点时的速度大小之比为 $ 2\sqrt{15} : 5 $
D.某次 $ A $、$ B $ 两球运动到最高点对绳、杆的作用力大小分别为 $ 2N $、$ 5N $，则此时 $ A $、$ B $ 两球经过最高点时的速度大小之比可能为 $ 2 : \sqrt{5} $

答案：
5.C 解析:A球与细绳相连，则恰好能到最高点时有$mg = m \frac{v_1^2}{L}$，解得$v_1 = \sqrt{gL} = \sqrt{10} m/s$，故A正确；B球与杆相连，则恰好能到最高点的速度大小为$v_2 = 0$，故B正确；对A球在最高点时由牛顿第二定律有$F_A + mg = m \frac{v_3^2}{L}$，代入数据解得$v_3 = 2\sqrt{3} m/s$，对B球有两种情况：①杆对小球B为支持力时，则有$mg - F_{B1} = m \frac{v_4^2}{L}$，代入数据解得$v_4 = \sqrt{5} m/s$，②杆对小球B为拉力时，则有$mg + F_{B2} = m \frac{v_5^2}{L}$，代入数据解得$v_5 = \sqrt{15} m/s$，则小球A、B在最高点的速度大小之比为$v_3 : v_4 = 2 : \sqrt{15}$ 或$v_3 : v_5 = 2 : \sqrt{5}$，故C错误，D正确。
规律总结 两类模型对比
轻绳模型(最高点无支撑) 轻杆模型(最高点有支撑)
图示
受力示意图 $F_{弹}$ $mg$ $O$ $F_{弹}$向下或等于 0 $mg$ $O$ $F_{弹}$向下、等于 0 或向上 $mg$ $O$
力学方程 $mg + F_{弹} = m \frac{v^2}{R}$ $mg \pm F_{弹} = m \frac{v^2}{R}$
临界特征 $F_{弹} = 0$ $mg = m \frac{v_{\min}^2}{R}$ 即$v_{\min} = \sqrt{gR}$ $F_{向} = 0$ 即$F_{弹} = mg$
讨论分析
(1) 最高点，若$v \geqslant \sqrt{gR}$，$F_{弹} + mg = m \frac{v^2}{R}$，绳或轨$F_{弹} = m \frac{v^2}{R} - mg$，$F_{弹}$背离圆心并随$v$的对球产生弹力$F_{弹}$；
(1) 当$v = 0$时，$F_{弹} = mg$，$F_{弹}$背离圆心；
(2) 若$v ＜ \sqrt{gR}$，则不能到达最高点，即到达最高点前小球已经脱离了圆轨道
(2) 当$0 ＜ v ＜ \sqrt{gR}$时，$mg - F_{弹} = m \frac{v^2}{R}$，$F_{弹}$背离圆心并随$v$的增大而减小；
(3) 当$v = \sqrt{gR}$时，$F_{弹} = 0$；
(4) 当$v ＞ \sqrt{gR}$时，$mg + F_{弹} = m \frac{v^2}{R}$，$F_{弹}$指向圆心并随$v$的增大而增大。

6. (北京西城期中)如图所示，在竖直平面内，一半径为 $ R $ 的圆弧轨道 $ ABC $ 和水平轨道 $ PA $ 在 $ A $ 点相切，$ BC $ 为圆弧轨道的直径，$ O $ 为圆心，$ OA $ 和 $ OB $ 之间的夹角为 $ \alpha $，$ \cos \alpha = \frac{4}{5} $。一质量为 $ m $ 的小球沿水平轨道向右运动，经 $ A $ 点沿圆弧轨道通过 $ C $ 点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用。已知小球在 $ C $ 点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为 $ 0 $。不计一切摩擦，重力加速度大小为 $ g $，下列说法

错

误

的是(A)


A.小球在 $ A $ 点时速度最大
B.小球在 $ B $ 点时速度最大
C.小球受到的水平恒力的大小为 $ \frac{3}{4}mg $
D.小球到达 $ C $ 点时速度的大小为 $ \sqrt{\frac{5gR}{4}} $

答案： 6.A 解析:由于小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为0，表明水平恒力与重力的合力方向与直径BC平行，即B为圆周运动的等效最低点，C为圆周运动的等效最高点，类比于一般的圆周运动，可知小球在等效最低点B时的速度最大，小球在等效最高点C时的速度最小，A错误，B正确；根据上述分析可知，小球在C点时，水平恒力与重力的合力方向指向圆心，则有$F = mg \tan \alpha = \frac{3}{4} mg$，C正确；结合上述分析，在C点对小球，由牛顿第二定律有$\frac{mg}{\cos \alpha} = m \frac{v_C^2}{R}$，解得$v_C = \sqrt{\frac{5gR}{4}}$，D正确。

7. (2024 河北邯郸期中联考)如图甲所示为一种叫“魔力陀螺”的玩具，其结构可简化为图乙所示。铁质圆轨道用支架固定在竖直平面内，质量为 $ m $、可视为质点的陀螺在轨道内、外两侧均可以旋转，半径均为 $ R $，陀螺磁芯对轨道的吸引力始终沿轨道半径的方向，大小恒为 $ 6mg $。不计摩擦和空气阻力，重力加速度为 $ g $。下列说法正确的是(B)


A.陀螺在轨道内侧运动到最高点时的速度最小值为 $ \sqrt{gR} $
B.陀螺在轨道内侧运动的过程中，无论速度取何值，均不会脱离轨道
C.当陀螺在轨道外侧运动时，只要速度不超过 $ \sqrt{7gR} $，即可保证其始终不脱离轨道
D.若陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高 处时速度为 $ \sqrt{2gR} $，则其所受合外力的大小为 $ 2mg $

答案： 7.B 解析:陀螺在轨道内侧运动到最高点时，由于$F_{吸} = 6mg ＞ mg$，可知速度最小值可以为0，此时轨道弹力大小为$N = F_{吸} - mg = 5mg$，故A错误；陀螺在轨道内侧运动的过程中，由于陀螺离开轨道只能做近心运动，而在最高点的最小速度可以为0，所以无论速度取何值，均不会脱离轨道，故B正确；当陀螺在轨道外侧运动时，在最低点的弹力刚好为0时，则有$F_{吸} - mg = m \frac{v^2}{R}$，可得$v = \sqrt{5gR}$，可知要保证陀螺始终不脱离轨道，其速度不能超过$\sqrt{5gR}$，故C错误；若陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处时速度为$\sqrt{2gR}$，陀螺受到磁吸引力和轨道弹力处于水平方向，重力处于竖直方向，则合外力的水平分力为$F_x = m \frac{v^3}{R} = 2mg$，合外力的竖直分力为$F_y = mg$，则所受合外力的大小为$F_{合} = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{5} mg$，故D错误。

8. (多选，2024 陕西渭南期中)如图甲所示，一艘正在进行顺时针急转弯训练的航母，运动轨迹可视作半径为 $ R $ 的水平圆周。航母在圆周运动中，船身向外侧发生了倾斜，甲板法线与竖直方向的夹角为 $ \theta $，船体简图如图乙所示。一质量为 $ m $ 的小物块放在甲板上，与甲板始终保持相对静止，两者之间的动摩擦因数为 $ \mu $，重力加速度为 $ g $。假设航母的运动半径为 $ R $，夹角 $ \theta $ 不随航速改变，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是(CD)


A.小物块可能只受重力、支持力两个力作用
B.航母对小物块的支持力 $ F_{N} = mg \cos \theta $
C.航母的航速越大，小物块受到的摩擦力越大
D.航母的最大航速为 $ \sqrt{\frac{\mu - \tan \theta}{1 + \mu \tan \theta}gR} $

答案：
8.CD 解析:根据题意可知，小物块做圆周运动，受重力、支持力和摩擦力，如图所示，由图可知$mg - f_2 = F_{N2}$，又$F_{N2} = F_{N} \cos \theta$，$f_2 = f \sin \theta$，联立解得$F_{N} = \frac{mg - f \sin \theta}{\cos \theta}$，故A、B错误；由图可知，小物块做圆周运动的向心力由$f_1$和$F_{N1}$提供，由牛顿第二定律，有$f_1 - F_{N1} = m \frac{v^2}{R}$，由于$F_{N1} = F_{N} \sin \theta$，$f_1 = f \cos \theta$，联立解得$f = \frac{F_{N} \sin \theta + m \frac{v^2}{R}}{\cos \theta}$，可得航母的航速越大，小物块受到的摩擦力越大，故C正确；当摩擦力等于最大静摩擦力时，航母有最大航速，有$f = \mu F_{N}$，即$m \frac{v_m^2}{R} = \mu F_{N} \cos \theta - F_{N} \sin \theta$，又$F_{N} = \frac{mg - f \sin \theta}{\cos \theta} = \frac{mg}{\mu \sin \theta + \cos \theta}$，解得$v_m = \sqrt{\frac{\mu - \tan \theta}{1 + \mu \tan \theta} gR}$，故D正确。