《2025年小题狂做高中物理必修第二册人教版巅峰版》

9. (广东广州期中)如图所示,半径$R=0.20m$的$\frac {1}{4}$光滑圆弧轨道固定在竖直平面内,过最低点的半径 OA 处于竖直位置,在其右方有一可绕竖直轴 MN(与圆弧轨道共面)转动的、内部空心的圆筒,圆筒半径$r=0.10m$,筒的顶端与 A 点等高,圆筒上开有两个小孔 B、C,B、C 处于同一竖直线上,与筒顶的距离分别为$h_{1}=0.20m、h_{2}=0.45m$,开始时小孔 B、C 在图示位置(与圆弧轨道共面).现让一质量$m=0.10kg$的小物块自光滑圆弧轨道的某点由静止释放,到达 A 点时触动光电装置,使圆筒立刻以某一角速度匀速转动起来,结果小物块正好从小孔 B 进入圆筒,并从小孔 C 离开.不计空气阻力,g 取$10m/s^{2}$.求:
(1) 小物块由 A 运动到 B 所用的时间.
(2) 小物块到达 A 点时的速度大小.
(3) 圆筒匀速转动时的角速度.

答案： 9.
(1) 小物块从 A 到 B 做平抛运动，由平抛运动规律，有 $h_1 = \frac{1}{2}gt_1^2$，解得 $t_1 = \sqrt{\frac{2h_1}{g}} = 0.2 s$.
(2) 由
(1)可知小物块进入小孔 B 时，竖直方向的分速度为 $v_{yB} = gt_1 = 2 m/s$.
小物块正好从小孔 B 进入圆筒，并从小孔 C 离开，说明竖直方向下落的同时，水平方向运动了 $2r$ 的距离，设小物块从 B 到 C 的运动时间为 $t$，则有 $2r = v_At = 0.20 m$，$h_2 - h_1 = v_{yB}t + \frac{1}{2}gt^2 = 0.25 m$，解得 $v_A = 2 m/s$，$t = 0.1 s$.
(3) 由
(2)可知 A 点到 B 点的水平距离为 $x_0 = v_A · t_1 = 0.4 m$，则圆筒匀速转动时的角速度需满足 $\omega = \frac{n · 2\pi}{t_1} = 10\pi n rad/s (n = 1,2,3,·s)$.
从 B 点到 C 点，圆筒要转 $\frac{2k - 1}{2} (k = 1,2,3,·s)$ 圈，才能让小物块正好从 C 点离开，则圆筒匀速转动时的角速度需满足 $\omega = \frac{(2k - 1) · \pi}{t} = 10(2k - 1)\pi rad/s (k = 1,2,3,·s)$，因此，圆筒匀速转动时的角速度为 $\omega = 10(2n - 1)\pi rad/s (n = 1,2,3,·s)$.

10. (2024 福建部分优质高中期末质量检测)一个半径为$R=0.5m$的水平转盘可以绕竖直轴$O'O''$转动,水平转盘中心$O'$处有一个光滑小孔,用一根长$L=1m$细线穿过小孔将质量分别为$m_{A}=0.2kg、m_{B}=0.5kg$的小球 A 和小物块 B 连接,小物块 B 放在水平转盘的边缘且与转盘保持相对静止,如图所示.现让小球 A 在水平面做角速度$ω_{A}=5rad/s$的匀速圆周运动,小物块 B 与水平转盘间的动摩擦因数$\mu =0.3$(取$g=10m/s^{2}$),求:
(1) 细线与竖直方向的夹角θ;
(2) 小球 A 运动不变,现使水平转盘转动起来,要使小物块 B 与水平转盘间保持相对静止,通过计算,写出小物块所受摩擦力 f 与转盘角速度平方$ω^{2}$之间的函数关系式,并求出水平转盘角速度$ω_{B}$的取值范围;(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)
(3) 在水平转盘角速度$ω_{B}$为(2)问中的最大值的情况下,当小球 A 和小物块 B 转动至两者速度方向相反时,由于某种原因细线突然断裂,经过多长时间小球 A 和小物块 B 的速度相互垂直.(可能使用到的值$sin30^{\circ }=\frac {1}{2},cos30^{\circ }=\frac {\sqrt {3}}{2},sin37^{\circ }=\frac {3}{5},cos37^{\circ }=\frac {4}{5}).$

答案：
10.
(1) 对小球 A 受力分析如图所示，由 $F = m\omega^2r$，得 $m_Ag\tan\theta = m_Ar_A\omega_A^2$，由几何关系知 $r_A = \frac{L}{2}\sin\theta$，

解得 $\cos\theta = \frac{4}{5}$，即 $\theta = 37°$.
(2) 当物块 B 受到的最大静摩擦力 $f_{max}$ 指向圆心时，转盘角速度 $\omega_B$ 最大 $T + \mu m_{B}g = m_{B}R\omega_{Bmax}^2$，解得 $\omega_{Bmax} = 4 rad/s$，当物块 B 受到的最大静摩擦力 $f_{max}$ 背离圆心时，转盘角速度 $\omega_B$ 最小 $T - \mu m_{B}g = m_{B}R\omega_{Bmin}^2$，解得 $\omega_{Bmin} = 2 rad/s$，水平转盘角速度 $\omega_B$ 的取值范围 $2 rad/s \leq \omega_B \leq 4 rad/s$，设沿半径指向圆心为正方向，$f = 0.25\omega^2 - 2.5$，若设沿半径背离圆心为正方向，$f = -0.25\omega^2 + 2.5$.
(3) 绳断后 A、B 均做平抛运动，设经时间 $t$，A 和 B 速度垂直，由平抛运动规律知此时 A、B 竖直方向速度均为 $v_y = gt$，水平方向 $v_{OA} = r_A\omega_A = 1.5 m/s$，$v_{OB} = r_B\omega_{Bmax} = 2 m/s$，如图所示，由几何关系得 $v_y^2 = v_{OA} · v_{OB}$，即 $t = \sqrt{\frac{v_{OA}v_{OB}}{g^2}}$，代入数据解得 $t = \frac{\sqrt{3}}{10} s$.