《2025年小题狂做高中物理必修第二册人教版巅峰版》

10. (2024河北保定阶段检测)自由式小轮车赛是一种对感官冲击强烈的极限运动,单人表演场地如图所示,两个相同等腰直角三角形斜坡间隔15m,表演者从右边斜坡顶点以$10\sqrt{2}m/s$的速度沿斜面方向滑出,最终落在左边斜坡的斜面上.忽略空气阻力,表演者连带装备可看作质点,取$g = 10m/s^{2}$.下列说法正确的是(C)


A.表演者将落在左边斜坡的顶点上
B.表演者落在左边斜坡的斜面上时,速度方向沿斜面向下
C.表演者距左边斜坡的斜面的最远距离为$\frac{5}{2}\sqrt{2}m$
D.表演者上升和下降的高度之比为$1:3$

答案： 10.C 解析：因为表演者从右边斜坡顶点沿斜面方向滑出，则在水平方向和竖直方向上的分速度为$v_x = v_y = 10m/s$，表演者将做斜抛运动，根据斜抛运动的对称性，当表演者下落到与斜坡顶点等高时，速度方向与左边斜坡的斜面平行，此时距左边斜坡的斜面最远，在竖直方向上，可得运动时间为$t = \frac{2v_y}{g} = 2s$，在水平方向上的位移为$x = v_x t = 20m$，则表演者距左边斜坡的斜面的最远距离为$s_m = (x - 15m) · \sin45° = \frac{5}{2}\sqrt{2}m$，故A错误，C正确；表演者下落到与左边斜坡顶点等高时，速度方向沿斜面向下，继续下落到斜坡的斜面上时，速度方向改变，故B错误；表演者上升到最高点时，在竖直方向上，有$h_1 = \frac{v_y^2}{2g} = 5m$，在水平方向，有$x_1 = v_x · \frac{t}{2} = 10m$，设下降的高度为$h_2$，则$h_2 = \frac{1}{2}gt_2^2$，$x_2 = v_x t_2$，$\frac{h_2 - h_1}{x_2 - (15m - x_1)} = \tan45°$，联立解得$h_2 = 20m$，所以表演者上升和下降的高度之比为$\frac{h_1}{h_2} = \frac{5m}{20m} = \frac{1}{4}$，故D错误.

11. (2025浙江宁波期末)如图所示,粗糙水平面上有一长方体箱子,箱子内部固定有光滑斜面$OA$,斜面倾角$\theta = 37^{\circ}$,箱子右边固定有竖直挡板$CD$.现用水平恒力$F$推动箱子使其由静止开始向右做匀加速直线运动,此时斜面$OA$上的小球$P$(可视为质点)与斜面保持相对静止.已知整个装置(包括箱子、斜面和小球)的质量$M = 6kg$,箱子与水平面间的动摩擦因数$\mu = 0.1$,$P$离箱底的高度$h = 0.45m$,斜面底端$A$与箱子底部右端$B$相距$x_{AB} = 0.15m$,不计空气阻力.($\sin37^{\circ}$取$0.6$,$\cos37^{\circ}$取$0.8$)
(1)求此时箱子的加速度大小和水平恒力$F$的大小;
(2)现保持(1)中$F$不变,设箱子与挡板$CD$碰撞后速度立即变为0且此后保持静止,而小球$P$则可能会与斜面$OA$、箱子底部$AB$或箱子右壁$BB'$发生碰撞.将$P$自飞出到第一次发生碰撞的时间记为$t$,$P$飞出后直接撞到箱子右壁$BB'$时的速度大小记为$v$,箱子右壁与挡板间的距离$BC$记为$L$.
①当$L$取多大时,$v$有最小值,并求出该最小值$v_{min}$;
②通过分析计算,写出$t$与$L$间的函数关系.

答案： 11.（1）对小球分析，根据牛顿第二定律有$mg\tan\theta = ma$，解得$a = 7.5m/s^2$，对整体分析，根据牛顿第二定律有$F - \mu Mg = Ma$，解得$F = 51N$.
（2）①根据速度—位移公式有$v_0^2 = 2aL$，碰到挡板后，小球做平抛运动，根据速度的合成有$v = \sqrt{v_0^2 + (gt)^2}$，水平方向有$\frac{h}{\tan\theta} + x_{AB} = v_0t$，联立解得$v = \sqrt{15L + \frac{15}{4L}}(m/s)$，易知当$15L = \frac{15}{4L}$，即$L = 0.5m$时$v$有最小值，解得$v_0 = \sqrt{7.5}m/s$，$v_{min} = \sqrt{15}m/s$，假设当$P$恰落到$B$点，有$t_0 = \sqrt{\frac{2h}{g}} = 0.3s$，$v_{0B} = \frac{\frac{h}{\tan\theta} + x_{AB}}{t} = 2.5m/s ＜ \sqrt{7.5}m/s$，上述最小值可以取到，故$v_{min} = \sqrt{15}m/s$；
②当$P$恰落到$A$点时有$v_{0A} = \frac{h}{\tan\theta t_0} = 2m/s$，当$0 ＜ v_0 \leq 2m/s$，即$0 ＜ L \leq \frac{4}{15}m$时，有$\frac{\frac{1}{2}gt^2}{v_0t} = \tan\theta$，解得$t = \frac{3}{20}\sqrt{15L}s$；当$2m/s ＜ v_0 \leq 2.5m/s$，即$\frac{4}{15}m ＜ L \leq \frac{5}{12}m$时，有$t = 0.3s$，当$v_0 ＞ 2.5m/s$，即$L ＞ \frac{5}{12}m$时，有$t = \frac{\frac{h}{\tan\theta} + x_{AB}}{v_0} = \frac{3}{4\sqrt{15L}}s$.