《2025年小题狂做高中物理必修第二册人教版巅峰版》

6. (多选，2025 江西临川一中质量监测)宇宙中有一孤立星系，中心天体周围有三颗行星，如图所示。中心天体质量远大于行星质量，不考虑行星之间的万有引力，三颗行星的运动轨道中，有两个为圆轨道，半径分别为 $ r_{1} $、$ r_{3} $，一个为椭圆轨道，半长轴为 $ a $，$ a = r_{3} $。在 $ \Delta t $ 时间内，行星Ⅱ、行星Ⅲ与中心天体连线扫过的面积分别为 $ S_{2} $、$ S_{3} $。行星Ⅰ的速率为 $ v_{1} $，行星Ⅱ在 $ B $ 点的速率为 $ v_{2B} $，行星Ⅱ在 $ E $ 点的速率为 $ v_{2E} $，行星Ⅲ的速率为 $ v_{3} $，下列说法正确的是(AD)


A.$ S_{2} ＜ S_{3} $
B.行星Ⅱ与行星Ⅲ的运行周期不相等
C.行星Ⅱ与行星Ⅲ在 $ P $ 点时的加速度大小不相等
D.$ v_{2E} ＜ v_{3} ＜ v_{1} ＜ v_{2B} $

答案： 6.AD解析:根据开普勒第三定律可知,对于行星Ⅱ、行星Ⅲ分别有$\frac{T_{2}^{2}}{a^{3}} = k$，$\frac{T_{3}^{2}}{r_{3}^{3}} = k$，由于$a = r_{3}$，所以$T_{2} = T_{3}$，即行星Ⅱ和行星Ⅲ的周期相等，假设$\Delta t$为一个周期，它们与中心天体的连线扫过的面积分别为椭圆的面积和圆的面积，根据几何关系可知，椭圆的面积小于圆的面积，故A正确,B错误;行星Ⅱ与行星Ⅲ在P点时距离中心天体的距离相等，根据牛顿第二定律有$G\frac{Mm}{r^{2}} = ma$，可得$a = G\frac{M}{r^{2}}$，即二者的加速度大小相等，故C错误;根据万有引力提供向心力可得$G\frac{Mm}{r^{2}} = m\frac{v^{2}}{r}$，因此有$v_{1} = \sqrt{\frac{GM}{r_{1}}} ＞ v_{3} = \sqrt{\frac{GM}{r_{3}}}$，当行星从Ⅰ变轨到Ⅱ时，运行半径增大，需要在B点加速，因此有$v_{1} ＜ v_{2B}$，行星在轨道Ⅱ上从B点到E点，与中心天体的距离增大了，因此有$v_{2B} ＞ v_{2E}$，行星在E点的速度$v_{2E}$小于行星在E点能够绕中心天体做匀速圆周运动所需的速度$v_{E}$，由于$r_{E} ＞ r_{3}$，根据万有引力定律可得$v_{E} ＜ v_{3}$，所以有$v_{2E} ＜ v_{3} ＜ v_{1} ＜ v_{2B}$，故D正确。

7. (多选，2024 浙江期中)2023 年 10 月 26 日 11 时 14 分，搭载“神舟十七号”载人飞船的“长征二号”F 遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射。17 时 46 分，“神舟十七号”载人飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接。飞船的发射过程可简化为：飞船从预定轨道Ⅰ的 $ A $ 点第一次变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达椭圆轨道的远地点 $ B $ 时，再次变轨进入空间站的运行轨道Ⅲ，与空间站实现对接。假设轨道Ⅰ和Ⅲ都近似为圆轨道，不计飞船质量的变化，空间站轨道距地面的高度为 $ h $，地球半径为 $ R $，地球表面的重力加速度为 $ g $，下列说法正确的是(AC)


A.飞船在椭圆轨道Ⅱ经过 $ A $ 点的速度大于飞船在圆轨道Ⅰ经过 $ A $ 点的速度
B.飞船在椭圆轨道Ⅱ经过 $ A $ 点的速度可能大于 $ 11.2 km/s $
C.在轨道Ⅰ上飞船与地心连线单位时间内扫过的面积小于在轨道Ⅱ上飞船与地心连线单位时间内扫过的面积
D.飞船沿轨道Ⅱ由 $ A $ 点运动到 $ B $ 点的时间为 $ \frac{\pi(R + h)}{R}\sqrt{\frac{R + h}{g}} $

答案： 7.AC解析:根据变轨原理，飞船在圆轨道Ⅰ的A点需加速做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ，故飞船在椭圆轨道Ⅱ经过A点的速度大于飞船在圆轨道Ⅰ经过A点的速度，A正确;第一宇宙速度为$7.9km/s$，是最大环绕速度，故飞船在椭圆轨道Ⅱ经过A点的速度大于$7.9km/s$，但小于$11.2km/s$即第二宇宙速度，否则就会脱离地球束缚，B错误;在椭圆轨道Ⅱ上飞船与地心连线单位时间内扫过的面积都相等，在A点附近，因为飞船在椭圆轨道Ⅱ经过A点的速度大于飞船在圆轨道Ⅰ经过A点的速度，则单位时间内在轨道Ⅰ上飞船与地心连线单位时间内扫过的面积小于在轨道Ⅱ上飞船与地心连线单位时间内扫过的面积，C正确;根据万有引力与重力的关系，有$G\frac{Mm}{R^{2}} = mg$，根据万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{(R + h)^{2}} = m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}(R + h)$，解得飞船在轨道Ⅲ的周期为$T = \frac{2\pi(R + h)}{R}\sqrt{\frac{R + h}{g}}$，根据开普勒第三定律$\frac{a^{3}}{T^{2}} = k$，轨道Ⅱ的半轴长小于轨道Ⅲ的半径，故飞船在轨道Ⅱ的周期小于在轨道Ⅲ的周期，飞船沿轨道Ⅱ由A点运动到B点的时间为$t = \frac{1}{2}T_{Ⅱ} ＜ \frac{1}{2}T = \frac{\pi(R + h)}{R}\sqrt{\frac{R + h}{g}}$，D错误

8. (多选，2025 北京八中期中)“天问一号”探测器需要通过转移轨道从地球发送到火星，地球轨道和火星轨道看成圆形轨道，此时转移轨道是一个近日点 $ B $ 和远日点 $ C $ 都与地球轨道、火星轨道相切的椭圆轨道(如图所示)。在近日点短暂点火后“天问一号”进入转移轨道，接着“天问一号”沿着这个轨道直至抵达远日点，然后再次点火进入火星轨道。已知引力常量为 $ G $，太阳质量为 $ M $，地球轨道和火星轨道半径分别为 $ r $ 和 $ R $，地球、火星、“天问一号”运行方向都为逆时针方向。下列说法中正确的是(BC)


A.两次点火时喷气方向都与运动方向相同
B.两次点火之间的时间间隔为 $ \sqrt{\frac{\pi^{2}(r + R)^{3}}{8GM}} $
C.两次点火之间的时间间隔大于 $ 6 $ 个月
D.如果火星运动到 $ A $ 点，地球恰好在 $ B $ 点时发射探测器，那么探测器沿轨迹 $ BC $ 运动到 $ C $ 点时，恰好与火星相遇

答案： 8.BC解析:卫星第一次从地球轨道转移到转移轨道时，需反向喷气加速，万有引力不足以提供向心力，故卫星将做离心运动，从而进入转移轨道。要从转移轨道C点进入火星轨道时，需反向喷气加速，因为若未加速或减速，则卫星在C点所受万有引力大于所需向心力，卫星将做近心运动，无法进入火星轨道，所以应加速才可以保证卫星进入火星轨道，则两次变轨均需要加速，且两次点火时喷气方向都应与运动方向相反，故A错误;对地球，根据万有引力提供向心力有$G\frac{Mm}{r^{2}} = m\frac{4\pi^{2}}{T_{1}^{2}}r$，变形得$\frac{r^{3}}{T_{1}^{2}} = \frac{GM}{4\pi^{2}}$，设“天问一号”在转移轨道上的运行周期为$T_{2}$，根据开普勒第三定律有$\frac{r^{3}}{T_{1}^{2}} = \frac{(\frac{r + R}{2})^{3}}{T_{2}^{2}}$，联立得$T_{2} = 2\sqrt{\frac{\pi^{2}(r + R)^{3}}{8GM}}$，所以两次点火之间的时间间隔为$t = \frac{T_{2}}{2} = \sqrt{\frac{\pi^{2}(r + R)^{3}}{8GM}}$，故B正确;因“天问一号”在转移轨道上运行的轨道半长轴大于$r$，所以$T_{2} ＞ 1$年，即$t = \frac{T_{2}}{2} ＞ 6$个月，故C正确;因“天问一号”在转移轨道上运行的轨道半长轴小于$R$，所以“天问一号”在转移轨道上的运行周期小于火星的运行周期，“天问一号”由B点运动到C点、火星由A点运动到C点所需时间均为各自周期的一半，如果火星运动到A点，地球恰好在B点时发射探测器，那么探测器沿轨迹BC运动到C点时，不会与火星相遇，故D错误。