《2025年小题狂做高中物理必修第二册人教版巅峰版》

9. （2024 山东烟台莱州一中月考）2023 年 2 月，我国首颗超百 G 高通量卫星中星 26 号发射成功，开启卫星互联网新时代。如图所示，甲、乙卫星在地球赤道面内绕地球做匀速圆周运动，甲、乙卫星之间可直接进行无线信号通信，由于地球遮挡，甲、乙卫星之间直接通信讯号会周期性中断。已知地球的半径为 $ R $，甲卫星的轨道半径为 $ 2R $，绕地球运行的周期为 $ T $，乙卫星的轨道半径为 $ \sqrt{2}R $，甲、乙卫星运行方向均和地球自转方向相同。求：
（1）乙卫星绕地球运行的周期；
（2）在一个通信周期内，甲、乙卫星直接通信讯号中断的时间（不计信号传输时间）。

答案：
9.
(1)设卫星乙绕地球运动的周期为$T'$，由开普勒第三定律，有$\frac{(r_{甲})^{3}}{T^{2}} = \frac{(r_{乙})^{3}}{(T')^{2}}$，解得$T' = \frac{\sqrt[3]{2}}{2}T$。
(2)如图所示，由于地球遮挡，甲、乙卫星之间通信讯号会周期性中断，设在一个通讯周期内，甲、乙卫星通信中断的时间为$t$，有$(\omega_{乙} - \omega_{甲})t = 2\theta$，而$\omega_{乙} = \frac{2\pi}{T'}$，$\omega_{甲} = \frac{2\pi}{T}$，有$(\frac{2\pi}{T'} - \frac{2\pi}{T})t = 2\theta$，
由几何知识可知$\sin\alpha = \frac{R_{0}}{2R_{0}} = \frac{1}{2}$，$\sin\beta = \frac{R_{0}}{\sqrt{2}R_{0}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$\alpha = \frac{\pi}{6}$，$\beta = \frac{\pi}{4}$，由几何关系知$\theta = \alpha + \beta = \frac{5\pi}{6}$，综上可得$t = \frac{5\sqrt{2}}{12(2 - \sqrt{2})}T$。

10. (2024 浙江期中)火星的公转轨道是半径为 $ 1.5 AU $ 的圆($ 1AU = 1.49 × 10^{11} m $)。中国发射的“天问一号”成功着陆火星，它在地火转移轨道上的运动符合开普勒三定律，“天问一号”在转移轨道上时，它与太阳连线在单位时间内扫过的面积为 $ S $，地球与太阳连线在单位时间内扫过的面积为 $ S_{1} $，火星与太阳连线在单位时间内扫过的面积为 $ S_{2} $，则(A)


A.$ S_{1} ＜ S ＜ S_{2} $
B.$ S = S_{1} = S_{2} $
C.$ S_{2} ＜ S ＜ S_{1} $
D.$ S ＜ S_{2} ＜ S_{1} $

答案： 10.A解析:卫星从低轨道变轨到高轨道需要在变轨处点火加速;对于地球轨道与转移轨道相切处，由于转移轨道相切处的速度较大，则在相同的很短的$\Delta t$时间内，卫星与太阳连线扫过的面积大于地球与太阳连线扫过的面积，根据开普勒第二定律可知，在单位时间内有$S_{1} ＜ S$，对于火星轨道与转移轨道相切处，由于火星轨道相切处的速度较大，则在相同的很短的$\Delta t$时间内，火星与太阳连线扫过的面积大于卫星与太阳连线扫过的面积，根据开普勒第二定律可知，在单位时间内有$S ＜ S_{2}$，则有$S_{1} ＜ S ＜ S_{2}$，故A正确

11. (广东梅州期末)如图所示，用飞船将航天员送入中国空间站，首先使飞船在近地圆轨道(轨道半径约等于地球半径)上无动力飞行，然后飞船先后通过两次瞬间加速变轨，成功转移到空间站所在轨道并与空间站对接。图中 $ \alpha $ 角为该飞船第一次加速时，空间站和飞船分别与地心连线形成的夹角，若两次加速变轨时飞船分别在一椭圆轨道的近地点和远地点。已知地球半径为 $ 6400 km $，空间站距地面的高度约为 $ 400 km $，飞船和空间站都沿逆时针方向飞行，为了使飞船以最短的时间到达空间站，$ \alpha $ 角约为(B)


A.$ 1^{\circ} $
B.$ 8^{\circ} $
C.$ 16^{\circ} $
D.$ 20^{\circ} $

答案：
11.B解析:若飞船以最短的时间到达空间站，则飞船第一次加速变轨至椭圆轨道，并在椭圆轨道远地点与空间站对接，变轨图如图所示。设近地点为A，远地点为B，飞船在此椭圆轨道运动的周期为$T_{1}$，空间站绕地球运动的周期为$T_{2}$，因此从近地点到远地点的过程飞船和空间站飞行的时间都为$\frac{T_{1}}{2}$;由题意可知空间站绕地球运动的轨道半径$R_{2}=6800km$，近地点到地心的距离为$6400km$，则椭圆轨道的半长轴$R_{1}=\frac{6400 + 6800}{2}km = 6600km$，根据开普勒第三定律，可得$\frac{T_{1}^{2}}{T_{2}^{2}} = \frac{R_{1}^{3}}{R_{2}^{3}}$，因此有$\alpha = 180^{\circ} - \frac{T_{2}}{T_{1}} · 360^{\circ} = 180^{\circ} · (1 - \frac{T_{1}}{T_{2}}) = 180^{\circ} · (1 - \sqrt{(\frac{R_{1}}{R_{2}})^{3}}) \approx 7.9^{\circ}$，故B正确。