《2025年小题狂做高中物理必修第二册人教版巅峰版》

5. (2024 江苏南京检测)水星轨道在地球轨道内侧，地球和水星的公转周期的比值为$k$，通过位于贵州的中国天眼 FAST(目前世界上口径最大、最精密的单天线射电望远镜)观测水星与太阳的视角(观察者分别与水星、太阳的连线所夹的角)为$\theta$，则$\sin\theta$的最大值为(C)


A.$\sqrt[3]{k^{2}}$
B.$\sqrt{k^{3}}$
C.$\sqrt[3]{\frac{1}{k^{2}}}$
D.$\sqrt{\frac{1}{k^{3}}}$

答案： 5.C 解析：设水星的运动半径为$R_{1}$，周期为$T_{1}$，地球的运动半径为$R_{2}$，周期为$T_{2}$，根据开普勒第三定律，有$\frac {R_{1}^{3}}{T_{1}^{2}} = \frac {R_{2}^{3}}{T_{2}^{2}}$，又$\frac {T_{1}}{T_{2}} = \frac {1}{k}$，由几何关系可知，当水星和 FAST 连线与水星的运行轨道相切时，$\sin \theta$取得最大值，则$\sin \theta$的最大值为$\sin \theta = \frac {R_{1}}{R_{2}} \sqrt[3]{\frac {1}{k^{2}}}$，故 C 正确.

6. (多选，2024 山西晋城一中期中)如图甲所示，$A$、$B$两颗卫星在同一平面内围绕中心天体做匀速圆周运动，且绕行方向相同，$t = 0$时刻$A$、$B$两颗卫星相距最近，图乙是两颗卫星的间距$\Delta r$随时间$t$的变化图像。已知卫星$A$的周期$T_{A} = \frac{7}{8}t_{0}$，结合图像给出的信息可知(AB)


A.$B$卫星的周期$T_{B} = 7t_{0}$
B.$A$卫星的轨道半径是$B$卫星轨道半径的$\frac{1}{4}$
C.$A$卫星的向心加速度是$B$卫星的$4$倍
D.$A$、$B$两颗卫星的轨道半径在单位时间内扫过的面积之比为$1:4$

答案： 6.AB 解析：$0 \sim t_{0}$，$A$、$B$卫星转过的角度关系为$\frac {2\pi}{T_{A}}t_{0} - \frac {2\pi}{T_{B}}t_{0} = 2\pi$，又$T_{A} = \frac {7}{8}t_{0}$，解得$T_{B} = 7t_{0}$，故 A 正确；根据开普勒第三定律有$\frac {r_{A}^{3}}{T_{A}^{2}} = \frac {r_{B}^{3}}{T_{B}^{2}}$，可得$\frac {r_{A}}{r_{B}} = \frac {1}{4}$，故 B 正确；根据向心加速度$a = (\frac {2\pi}{T})^{2}r$，可得$\frac {a_{A}}{a_{B}} = \frac {16}{1}$，故 C 错误；根据$v = \frac {2\pi r}{T}$，可得$\frac {v_{A}}{v_{B}} = \frac {2}{1}$，根据扇形面积公式$S = \frac {1}{2}lr = \frac {1}{2}vr \Delta t$，$A$、$B$两颗卫星的轨道半径在单位时间内扫过的面积之比$\frac {S_{A}}{S_{B}} = \frac {1}{2}$，故 D 错误.

7. (2025 重庆质量检测)“天关”卫星是中国研制的一颗空间科学卫星，用于探寻黑洞、引力波等重要预言。如图所示，“天关”卫星离地高度约为$600km$，其轨道平面与赤道平面的夹角约为$29^{\circ}$，轨道半径为$r_{0}$。某时刻，“天关”卫星刚好从另一高轨卫星的正下方经过，高轨卫星的轨道位于赤道上空，经过一段时间后，“天关”卫星在地球另一侧从高轨卫星下方经过(忽略地球自转)，两卫星轨道均视为圆轨道，则该高轨卫星的轨道半径可能的值为(D)


A.$\sqrt{(\frac{5}{2})^{3}}r_{0}$
B.$\sqrt{(\frac{5}{3})^{3}}r_{0}$
C.$\sqrt[3]{(\frac{5}{2})^{2}}r_{0}$
D.$\sqrt[3]{(\frac{5}{3})^{2}}r_{0}$

答案： 7.D 解析：设“天关”卫星周期为$T_{0}$，则它运动到地球另一侧经过的时间$\Delta t = mT_{0} + \frac {T_{0}}{2} = (2m + 1)\frac {T_{0}}{2}$，$m = 0$，$1$，$2$，$·s$，设高轨卫星周期为$T$，“天关”卫星再次从其下方经过时，经过的时间$\Delta t' = nT + \frac {T}{2} = (2n + 1)\frac {T}{2}$，$n = 0$，$1$，$2$，$·s$，由于“天关”卫星轨道更低，周期更短，则$T ＞ T_{0}$，它再从高轨卫星下方经过时，满足$\Delta t = \Delta t'$，即$(2m + 1)\frac {T_{0}}{2} = (2n + 1)\frac {T}{2}$，$m ＞ n$，设高轨卫星的轨道半径为$r$，由开普勒第三定律，则$r = \sqrt[3]{(\frac {T}{T_{0}})^{2}} · r_{0} = \sqrt[3]{(\frac {2m + 1}{2n + 1})^{2}} · r_{0}$，其中$m$、$n$取整且$m ＞ n$，D 正确.

8. (2025 山东泰安期中)“嫦娥”六号绕月球运行的椭圆轨道如图所示，月球位于椭圆的焦点$O$上。假设每隔$\Delta t$时间记录一次“嫦娥”六号的位置，记录点如图所示，已知$E$为椭圆轨道的中心，$AB$、$CD$分别为椭圆的长轴和短轴，$A$、$B$的距离为$2a$，$C$、$D$的距离为$2b$，且满足$a = \sqrt{2}b$，椭圆的面积公式为$S = \pi ab$，则“嫦娥”六号从$A$运动到$C$所需的最短时间为(C)


A.$\frac{7}{2}\Delta t$
B.$(\frac{7}{2} + \frac{7\sqrt{2}}{2\pi})\Delta t$
C.$(\frac{7}{2} - \frac{7\sqrt{2}}{2\pi})\Delta t$
D.$\frac{7 + 7\sqrt{2}}{2\pi}\Delta t$

答案： 8.C 解析：由题图可知，“嫦娥”六号绕月球运行的周期$T = 14 \Delta t$，由开普勒第二定律可知，“嫦娥”六号与椭圆的焦点$O$的连线在相等的时间内扫过的面积相等，设经过时间$t$，“嫦娥”六号与椭圆的焦点$O$的连线扫过的面积为$S$，则$S \propto t$，设“嫦娥”六号从$A$运动到$C$过程所用最短时间为$t_{1}$，“嫦娥”六号与椭圆的焦点$O$的连线扫过的面积为$S_{1}$，则$\frac {S_{1}}{S_{椭圆}} = \frac {t_{1}}{T}$，其中$S_{1} = \frac {1}{4}S_{椭圆} - S_{\Delta OEC}$，根据数学知识可知$OE = c = \sqrt {a^{2} - b^{2}}$，$S_{\Delta OEC} = \frac {1}{2}bc$，又$S_{椭圆} = \pi ab$，$a = \sqrt {2}b$，联立求得$t_{1} = (\frac {7}{2} - \frac {7\sqrt {2}}{2\pi}) \Delta t$，故 C 正确.