《2025年小题狂做高中物理必修第二册人教版巅峰版》

1. (2024 山东青岛期中)已知地球的密度为$\rho$，杨利伟当年乘坐的神舟五号可以认为是近地运行，它的运行周期为 1.5 h，已经测出了月球的密度约为$\frac{20}{33}\rho$，现发射一颗贴近月球表面的人造卫星对月球进一步观测，已知引力常量为$G$，则根据题中所给数据可以估算出(A)

A.人造卫星的周期
B.月球的质量
C.人造卫星的向心加速度大小
D.人造卫星与月球的万有引力大小

答案： 1.A 解析：对于近地卫星，由万有引力提供向心力，而轨道半径为地球半径，有$G \frac{Mm}{R^2} = m (\frac{2\pi}{T})^2 R$，而地球的质量为$M = \rho_ · \frac{4}{3} \pi R^3$，联立可得$\rho_ = \frac{3\pi}{GT^2}$，同理可得对月球的近地卫星，也满足$\rho_ = \frac{3\pi}{GT^2_1}$，已知地球的密度$\rho_$，月球的密度$\rho_$，近地卫星的周期$T$，联立可求出近月卫星的周期$T_1$，故A正确，B、C、D错误.

2. (2025 黑龙江大庆月考)天文学家发现，三颗行星$A$、$B$、$C$绕着仙女座厄普西仑星做匀速圆周运动，如图所示，行星$A$的周期为 4.617 0 d，轨道半径为 0.059 AU(地球与太阳之间的距离为 1 AU = 1.496×10⁸ km)，引力常量$G$已知，根据题中数据可得到(C)


A.行星$B$的周期小于 4.617 0 d
B.行星$C$的加速度大于行星$A$的加速度
C.仙女座厄普西仑星的质量
D.仙女座厄普西仑星的密度

答案： 2.C 解析：对行星有$G \frac{Mm}{r^2} = m \frac{4\pi^2}{T^2} r$，整理有$T = \sqrt{\frac{4\pi^2 r^3}{GM}}$，由于行星$B$的轨道半径大于行星$A$的轨道半径，所以行星$B$的周期大于行星$A$的周期，即周期大于$4.6170d$，故A错误；对行星有$G \frac{Mm}{r^2} = ma$，整理有$a = \frac{GM}{r^2}$，由于行星$C$的轨道半径大于行星$A$的轨道半径，所以行星$C$的加速度大小小于行星$A$的加速度大小，故B错误；对行星$A$有$G \frac{Mm}{r^2} = m \frac{4\pi^2}{T^2} r$，整理有$M = \frac{4\pi^2 r^3}{GT^2}$，由于行星$A$的轨道半径、引力常量$G$以及周期已知，所以仙女座厄普西仑星的质量可求，故C正确；仙女座厄普西仑星的密度$\rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{3\pi r^3}{GT^2 R^3}$，由于仙女座厄普西仑星的半径未知，所以其密度无法求出，故D错误.

3. (山东临沂期末)理论表明：黑洞质量$M$和其半径$R$的关系为$\frac{M}{R}=\frac{c^{2}}{2G}$，其中$c$为光速，$G$为引力常量.若观察到黑洞周围有一星体绕它做匀速圆周运动，速率为$v$，轨道半径为$r$，则(C)

A.该黑洞的质量$M=\frac{vr}{2G}$
B.该黑洞的质量$M=\frac{v^{2}r}{2G}$
C.该黑洞的密度$\rho=\frac{3c^{6}}{32\pi Gv^{4}r^{2}}$
D.该黑洞的密度$\rho=\frac{3Gc^{6}}{32\pi v^{4}r^{2}}$

答案： 3.C 解析：根据星体受到的万有引力提供向心力，有$G \frac{Mm}{r^2} = \frac{v^2}{r}$，可得$M = \frac{v^2 r}{G}$，A、B错误；该黑洞的密度为$\rho = \frac{M}{V} = \frac{\frac{v^2 r}{G}}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{3M}{4\pi R^3}$，根据题意$\frac{M}{R} = \frac{c^2}{2G}$，又$M = \frac{v^2 r}{G}$，联立解得$\rho = \frac{3c^6}{32\pi G v^4 r^2}$，C正确，D错误.
规律方法 中心天体质量和密度常用的估算方法
1.利用天体表面的重力加速度$g$和天体半径$R$进行估算
(1)由$G \frac{Mm}{R^2} = mg$得天体质量$M = \frac{gR^2}{G}$.
(2)天体密度$\rho = \frac{M}{V} = \frac{\frac{gR^2}{G}}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{3g}{4\pi GR}$.
(3)$GM = gR^2$称为“黄金代换”公式.
2.利用卫星绕天体做匀速圆周运动的周期$T$和半径$r$进行估算
(1)由$G \frac{Mm}{r^2} = m \frac{4\pi^2}{T^2} r$得天体的质量$M = \frac{4\pi^2 r^3}{GT^2}$.
(2)若已知天体的半径$R$，则天体的密度$\rho = \frac{M}{V} = \frac{\frac{4\pi^2 r^3}{GT^2}}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{3\pi r^3}{GT^2 R^3}$.
(3)卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径$r$等于天体半径$R$，则天体密度$\rho = \frac{3\pi}{GT^2}$，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期$T$，就可估算出中心天体的密度.

4. (2024 湖北智学联盟联考)我国对火星的首次探测任务将于 2020 年正式开始实施，要实现对火星的形貌、土壤、环境、大气等的探测，研究火星上的水冰分布、物理场和内部结构等.现假想为研究火星上有关重力的实验，在火星的表面附近做一个上抛实验，将一个小球以某一初速度竖直向上抛出，测得小球相邻两次经过抛出点上方$h$处的时间间隔为$t$，作出$t^{2}-h$图像如图所示，已知火星的半径为$R$，引力常量为$G$，则火星的质量为(D)


A.$\frac{4aR^{2}}{Gb}$
B.$\frac{4bR^{2}}{Ga}$
C.$\frac{8aR^{2}}{Gb}$
D.$\frac{8bR^{2}}{Ga}$

答案： 4.D 解析：小球以某一初速度竖直向上抛出，测得小球相邻两次经过抛出点上方$h$处的时间间隔为$t$，由运动学规律可得$\frac{v_0^2}{2g} - h = \frac{1}{2}g (\frac{t}{2})^2$，解得$t^2 = -\frac{8}{g}h + \frac{4v_0^2}{g^2}$，结合题图可知$-\frac{8}{g} = a$，$\frac{a}{b}$，解得$g = \frac{8b}{a}$，由$G \frac{Mm}{R^2} = mg$，知$M = \frac{8bR^2}{Ga}$，D正确.

5. (2025 山东威海模拟)木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为 1∶2∶4.木卫二的周期为$T$，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径$r$的$n$倍.月球绕地球公转周期为$T_{0}$，下列说法正确的是(C)

A.$T$与$T_{0}$之比为$n^{\frac{3}{2}}$
B.木卫一的轨道半径为$\frac{nr}{4}$
C.地球质量与木星质量之比为$\frac{T^{2}}{n^{3}T_{0}^{2}}$
D.木卫一与木卫三的向心力之比为$(\frac{1}{16})^{\frac{2}{3}}$

答案： 5.C 解析：木卫二围绕的中心天体是木星，月球围绕的中心天体是地球，根据题意无法求出周期$T$与$T_0$之比，故A错误；根据题意可得，木卫二的轨道半径为$r_2 = nr$，根据万有引力提供向心力$G \frac{Mm}{R^2} = m \frac{4\pi^2}{T^2} R$，可得$R = \sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4\pi^2}}$，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为$1:2:4$，可得$r_1 : r_2 : r_3 = 1 : \sqrt[3]{4} : \sqrt[3]{16}$，木卫一的轨道半径为$r_1 = \frac{nr}{\sqrt[3]{4}}$，故B错误；对木卫二和月球，根据万有引力提供向心力分别有$G \frac{M_木 m}{(nr)^2} = m \frac{4\pi^2}{T^2} nr$，$G \frac{M_地 m}{r^2} = m \frac{4\pi^2}{T^2_0} r$，联立可得地球质量与木星质量之比为$\frac{M_地}{M_木} = \frac{T^2}{n^3 T^2_0}$，故C正确；木卫一与木卫三的向心力分别为$F_1 = G \frac{M_木 m_1}{r^2_1}$，$F_3 = G \frac{M_木 m_3}{r^2_3}$，由于不知道木卫一与木卫三的质量关系，故无法比较木卫一与木卫三的向心力的大小，故D错误.

6. (2024 重庆沙坪坝期末)2021 年 2 月，“天问一号”火星探测器经三次近火制动后，进入运行周期为$T$的椭圆形火星停泊轨道，轨道到火星表面的最近距离与最远距离之和为$2h$，火星半径为$R$.假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行，其周期也为$T$，引力常量为$G$.依据以上条件可求得(D)

A.飞船和“天问一号”探测器的质量
B.飞船绕火星飞行的半径为$h$
C.火星的质量为$\frac{4\pi^{2}h^{3}}{GT^{2}}$
D.火星的密度为$\frac{3\pi}{GT^{2}}(1+\frac{h}{R})^{3}$

答案： 6.D 解析：探测器进入椭圆形火星停泊轨道时半长轴$a = \frac{2R + 2h}{2} = R + h$，假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行，周期也为$T$，根据开普勒第三定律知$\frac{a^3}{T^2} = k$（$k$为常量），飞船绕火星飞行的半径为$R + h$，故B错误；设火星质量为$M$，飞船和“天问一号”探测器的质量为$m$，由万有引力提供向心力，有$\frac{GMm}{r^2} = m \frac{4\pi^2}{T^2} r$，解得$M = \frac{4\pi^2 (R + h)^3}{GT^2}$，而$m$无法求出，故A、C错误；将火星看作质量分布均匀的球体，有$M = \rho V$，$V = \frac{4}{3}\pi R^3$，联立解得$\rho = \frac{3\pi}{GT^2} (1 + \frac{h}{R})^3$，故D正确.