《2025年大联考单元期末测试卷八年级数学上册沪科版》

19. 如图平面直角坐标系中,一次函数$ y_{1} = kx + b $分别与$ y $轴和$ x $轴交于点$ A(0,4) $,$ C(-2,0) $,且与一次函数$ y_{2} = -4x + a $相交与点$ B $.
(1)由图可知,关于$ x $的方程$ kx + b = 0 $的解是$x = - 2$.
(2)若不等式$ kx + b ＞ -4x + a $的解集是$ x ＞ 1 $.
①求点$ B $的坐标;
②求一次函数$ y_{2} $与$ x $轴交点的坐标.

答案： 19.解：
(1)$x = - 2$。(2分)
(2)①$\because A(0,4)$，$C( - 2,0)$在一次函数$y_{1} = kx + b$上，
$\therefore\begin{cases}b = 4,\\ - 2k + b = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 2,\\b = 4,\end{cases}$
$\therefore$一次函数$y_{1} = 2x + 4$。(4分)
$\because$不等式$kx + b ＞ - 4x + a$的解集是$x ＞ 1$，$\therefore$点$B$的横坐标是$x = 1$。
当$x = 1$时，$y_{1} = 2×1 + 4 = 6$，$\therefore$点$B$的坐标为$(1,6)$。(6分)
②$\because y_{2} = - 4x + a$经过点$B(1,6)$，$\therefore 6 = - 4×1 + a$，解得$a = 10$，$\therefore y_{2} = - 4x + 10$。
令$y_{2} = 0$，得$- 4x + 10 = 0$，解得$x = 2.5$，$\therefore$一次函数$y_{2}$与$x$轴交点的坐标为$(2.5,0)$。(10分)

20. 如图,在等边三角形$ ABC $中,点$ D $是边$ AB $上的一点,点$ E $是$ CB $的延长线上的一点,连接$ CD $,$ DE $,$ \angle EDB = \angle ACD $.
(1)求证:$ \triangle DEC $是等腰三角形.
(2)当$ \angle BDC = 5 \angle EDB $,$ EC = 8 $时,求点$ D $到$ CE $的距离.

答案：
20.解：
(1)证明：$\because \triangle ABC$是等边三角形，$\therefore\angle ABC = \angle ACB = 60^{\circ}$。
$\because\angle E + \angle EDB = \angle ABC = 60^{\circ}$，$\angle ACD + \angle DCB = 60^{\circ}$，$\angle EDB = \angle ACD$，
$\therefore\angle E = \angle DCE$，$\therefore DE = DC$，$\therefore \triangle DEC$是等腰三角形。(5分)
(2)设$\angle EDB = \alpha$，则$\angle BDC = 5\alpha$，$\therefore\angle E = \angle DCE = 60^{\circ} - \alpha$，
$\therefore 6\alpha + 60^{\circ} - \alpha + 60^{\circ} - \alpha = 180^{\circ}$，解得$\alpha = 15^{\circ}$，
$\therefore\angle E = \angle DCE = 45^{\circ}$，$\therefore\angle EDC = 90^{\circ}$。(7分)
如图，过点$D$作$DH\perp CE$于点$H$。
$\because \triangle DEC$是等腰直角三角形，$\therefore\angle EDH = \angle E = 45^{\circ}$，
$\therefore EH = HC = DH = \frac{1}{2}EC = \frac{1}{2}×8 = 4$。(10分)