《2025年大联考单元期末测试卷八年级数学上册沪科版》

17. 核心素养·应用意识如图1,两个建筑物A,B分别位于河的两岸,要测得它们之间的距离,可以从B出发沿河岸画一条射线BF,在BF上截取$BC = CD$,过点D作$DE// AB$,使点E,C,A在同一条直线上,则DE的长就是A,B之间的距离,请说明理由.还有其他测量A,B之间的距离的方法吗? 请把设计方案画在图2上,并说明理由.

答案：
17.解：
∵DE//AB,
∴∠A=∠E.
又
∵∠ACB=∠ECD,BC=DC，
∴△ABC≌△EDC(AAS)，
∴AB=ED.(3分)
其他方法如下：
过点A作AE⊥BF于点E，在BF上截取BE=DE,过点D作DC//AB交AE的延长线于点C，则AB=CD.(4分)

证明如下：
由作图可知∠AEB=∠CED=90°.
∵CD//AB,
∴∠A=∠C.
又
∵BE=DE，
∴△AEB≌△CED(AAS)，
∴AB=CD.(8分)

18. 如图,在四边形ABCD中,$\angle BAE=\angle ACD = 90°$,$BC = CE$.
(1)求证:$\angle BAC=\angle D$.
(2)点E在边AD上,若$\angle BCE = 90°$,试判断$\triangle ACD$的形状,并说明理由.

答案： 18.解：
(1)证明：
∵∠ACD=90°，
∴∠CAD+∠D=90°.
∵∠BAE=90°,
∴∠BAC+∠CAD=90°，
∴∠BAC=∠D.(3分)
(2)△ACD是等腰直角三角形.理由如下：
∵∠BCE=90°,
∴∠ACB+∠ACE=90°.
又
∵∠ACD=90°,
∴∠DCE+∠ACE=90°，
∴∠ACB=∠DCE.(5分)
在△ABC和△DEC中，$\begin{cases} ∠BAC=∠D, \\ ∠ACB=∠DCE, \\ BC=CE, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEC(AAS)，
∴AC=CD.
又
∵∠ACD=90°，
∴△ACD是等腰直角三角形.(8分)