《2025年大联考单元期末测试卷八年级数学上册沪科版》

21. 如图$1$，直线$MN$，$PQ$互相平行，一块含$30^{\circ}$角的直角三角尺$ABC$放置在图中，直角顶点$C$在两条平行线之间，点$A$在$MN$上方，点$B$在$PQ$下方，$AC$，$AB$分别交$MN$于点$D$，$E$，$BC$，$AB$分别交$PQ$于点$F$，$G$。
(1)若$\angle ADE = 43^{\circ}$，求$\angle CFG$的度数。
(2)如图$2$，点$H$为线段$CA$上一点，连接$HF$。若①，求证：④。
从①②中选择一个题设，③④中选择一个正确的结论，将序号填在横线上，并证明。
①$\angle HFC + \angle CFG = 180^{\circ}$；②$2\angle HFC + \angle CFG = 180^{\circ}$；③$\angle HFG - \frac{3}{2}\angle ADE$是定值；④$\frac{\angle HFG}{\angle ADE}$是定值。

答案：
21.解:
(1)如图,过点$C$作$CK// MN$,
　　　　
　$\therefore \angle ACK = \angle ADE = 43^{\circ}$.
　$\because \angle ACB = 90^{\circ}$,
　$\therefore \angle KCF = 90^{\circ}-43^{\circ}=47^{\circ}$.(2分)
　$\because MN// PQ,\therefore CK// PQ$,
　$\therefore \angle CFP = \angle KCF = 47^{\circ}$,
　$\therefore \angle CFG = 180^{\circ}-47^{\circ}=133^{\circ}$.(5分)
(2)情况一:
　若①,求证:④.(7分)
　证明:由
(1)知$\angle CFP = 90^{\circ}-\angle ADE$,
　$\angle CFG = 90^{\circ}+\angle ADE$.
　$\because \angle HFC + \angle CFG = 180^{\circ}$,
　$\therefore \angle HFC = \angle CFP = 90^{\circ}-\angle ADE$,
　$\therefore \angle HFG = \angle CFG - \angle HFC = 2\angle ADE$,
　$\therefore \frac{\angle HFG}{\angle ADE}=2$,
　$\therefore \frac{\angle HFG}{\angle ADE}$为定值,即④正确.(12分)
　情况二:
　若②,求证:③.(7分)
　证明:当②时,由①可得$2\angle HFC = 90^{\circ}-\angle ADE$,
　$\therefore \angle HFC = 45^{\circ}-\frac{1}{2}\angle ADE$,
　$\therefore \angle HFG = \angle CFG - \angle HFC = 45^{\circ}+\frac{3}{2}\angle ADE$,
　$\therefore \angle HFG - \frac{3}{2}\angle ADE = 45^{\circ},\angle HFG - \frac{3}{2}\angle ADE$为定值,即③正确.(12分)(选择一种情况解答即可)