《2025年大联考单元期末测试卷八年级数学上册沪科版》

23. 已知△ABC 是等边三角形,点 E 是边 AC 上一点,点 F 是边 BC 延长线上一点,且 CF = AE,连接 BE,EF.
(1) 如图 1,若点 E 是边 AC 的中点,猜想 BE 与 EF 的数量关系,并加以证明.
(2) 如图 2,若点 E 是线段 AC 上的任意一点,其他条件不变,上述线段 BE,EF 的数量关系是否发生变化,写出你的猜想并加以证明.
(3) 如图 3,若点 E 是线段 AC 延长线上的任意一点,其他条件不变,上述线段 BE,EF 的数量关系是否发生变化,写出你的猜想并加以证明.

答案：
23.解：
(1)BE=EF.理由如下：(1分)
∵△ABC是等边三角形，点E是线段AC的中点，
∴∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，∠BEC=90°，AE=CE=CF，
∴∠BCE=2∠F=60°，
∴∠EBF=∠F=30°，
∴BE=EF.(4分)
(2)BE=EF.理由如下：(5分)
如图2，过点E作EG//BC，交AB于点G，则△AEG是等边三角形，
∴AE=AG=EG=CF，∠AGE=∠ACB=60°，
∴∠BGE=∠ECF=120°.
又
∵AB=AC，
∴BG=CE.
在△BGE与△ECF中，
BG=CE，
∠BGE=∠ECF=120°，
GE=CF，
∴△BGE≌△ECF(SAS)，
∴BE=EF.(9分)

(3)BE=EF.理由如下：(10分)
如图3，过点E作EG//BC交AB的延长线于点G，则△AEG是等边三角形，
易得BG=CE，∠G=∠ECF=60°.
又由CF=AE=EG，则△BGE≌△ECF(SAS)，故BE=EF.(14分)