《2025年大联考单元期末测试卷八年级数学上册沪科版》

22. 在$\triangle ABC$中，点$D$在线段$AC$上，$ED// BC$交$AB$于点$E$，点$F$在线段$AB$上（点$F$不与点$A$，$E$，$B$重合），连接$DF$，作$FG\perp FD$交射线$CB$于点$G$。
（1）如图1，当点$F$在线段$BE$上，且$\angle EDF=16^{\circ}$时，求$\angle BGF$的度数。
（2）如图1，当点$F$在线段$BE$上时，求证：$\angle ABC+\angle BFG-\angle EDF=90^{\circ}$。
（3）当点$F$在线段$AE$上时，依题意，在图2中补全图形，用等式表示$\angle EDF$与$\angle BGF$的数量关系，并说明理由。（不考虑点$G$不在边$BC$上的情形）

答案：
22.解:
(1)如图1,作FH//BC交AC于点H.
∵ED//BC,
∴ED//FH,
∴∠EDF=∠1.
∵FH//BC,
∴∠BGF=∠2.
∵FG⊥FD,
∴∠DFG=90°,
　即∠1+∠2=90°,
∴∠EDF+∠BGF=90°.
∵∠EDF=16°,
∴∠BGF=74°.(4分)
(2)
∵FH//BC,
∴∠ABC=∠AFH,
∴∠ABC=∠1+∠3,
∴∠3=∠ABC−∠1.
　由
(1)知∠EDF=∠1，
∴∠3=∠ABC−∠EDF.(6分)
∵FG⊥FD,
∴∠DFG=90°,
∴∠BFG+∠3=90°,
∴∠3=90°−∠BFG,
∴90°−∠BFG=∠ABC−∠EDF,
∴∠ABC+∠BFG−∠EDF=90°.(8分)
(3)补全图形如图2所示，
　∠BGF−∠EDF=90°.理由如下:
　设DE交FG于点J.(10分)
∵FG⊥FD,
∴∠DFG=90°.
∵DE//BC,
∴∠BGF=∠FJE.
∵∠FJE=∠DFG+∠EDF,
∴∠BGF−∠EDF=90°.(12分)