《2025年大联考单元期末测试卷八年级数学上册沪科版》

19. 如图,直线 AD 分别与 AB,CD 相交于点 A,D,EC 和 BF 分别与 AB,CD 相交于点 E,C 和点 B,F.下列三个式子:①∠1 = ∠2;②∠B = ∠C;③∠A = ∠D 中,请将其中两个作为题设,一个作为结论组成一个真命题,并证明(写出一种情况即可).
已知:①∠1=∠2,②∠B=∠C, 求证:③∠A=∠D.

答案： 19.解：情况一：
已知：①∠1=∠2,②∠B=∠C.
求证：③∠A=∠D.
证明：
∵∠AGB=∠2,∠1=∠2，
∴∠AGB=∠1，
∴CE//FB，
∴∠AEC=∠B.
又
∵∠B=∠C，
∴∠AEC=∠C，
∴AB//CD，
∴∠A=∠D.
情况二：
已知：③∠A=∠D,②∠B=∠C.
求证：①∠1=∠2.
证明：
∵∠A=∠D，
∴AB//CD，
∴∠AEC=∠C.
∵∠B=∠C，
∴∠AEC=∠B，
∴CE//FB，
∴∠AGB=∠1.
∵∠AGB=∠2，
∴∠1=∠2.
情况三：
已知：③∠A=∠D,①∠1=∠2.
求证：②∠B=∠C.
证明：
∵∠A=∠D，
∴AB//CD，
∴∠AEC=∠C.
∵∠AGB=∠2，∠1=∠2，
∴∠AGB=∠1，
∴CE//FB，
∴∠AEC=∠B，
∴∠B=∠C.(写出一种情况即可)(10分)

20. 新考法在一个三角形中,如果一个内角是另一个内角的 3 倍,这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”.例如:三个内角分别为 120°,40°,20°的三角形是“三倍角三角形”.
(1) 在△ABC 中,∠A = 35°,∠B = 40°,△ABC 是“三倍角三角形”吗? 为什么?
(2) 若△ABC 是“三倍角三角形”,且∠B = 30°,求△ABC 中最小内角的度数.

答案： 20.解：
(1)△ABC是“三倍角三角形”.理由如下：
∵∠A=35°,∠B=40°，
∴∠C=180° - 35° - 40°=105°=35°×3，
∴△ABC是“三倍角三角形”.(5分)
(2)
∵∠B=30°，
∴∠A+∠C=150°.
设最小的角为x.(7分)
①当30°=3x时，x=10°；
②当x+3x=150°时，x=37.5°，30°＜37.5°，不符题意舍去；
③30°×3=90°，180° - 30° - 90°=60°.
综上所述，△ABC中最小内角为10°或30°.(10分)