《2025年大联考单元期末测试卷八年级数学上册沪科版》

19. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,点 D 是边 BC 上的一点,DF//AB 交 AC 于点 F,BD = DF = AF,DE⊥AB 交 AB 于点 E. 求证:
(1) AD 平分∠BAC.
(2) CF = BE.

答案： 19.证明：
(1)
∵DF=AF，
∴∠FAD=∠FDA.
∵DF//AB，
∴∠BAD=∠FDA，
∴∠FAD=∠BAD，即AD平分∠BAC.(5分)
(2)
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC=DE.
在Rt△CDF和Rt△EDB中，
∵DF=DB，
DC=DE，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)，
∴CF=BE.(10分)

20. 核心素养·几何直观 如图,将长方形纸片 ABCD 沿 MN 和 PQ 折叠得到一个轴对称的帽子,折痕角∠AMN = ∠DPQ,点 A,D 的对应点分别为点 G,H,折叠后点 B,C 的对应点恰好都在点 E.
(1) 若折痕角∠AMN = 110°,求帽子顶角∠NEQ 的度数.
(2) 设∠GMD = x°,∠NEQ = y°.
① 请用含 x 的代数式表示 y,则 y = 180 - 2x;
② 若当∠MNE = 2∠GMD 时,帽子比较美观,求此时 y 的值.

答案： 20.解：
(1)由题意可知AD//BC，
∴∠AMN+∠MNB=180°.
又
∵∠AMN=110°，
∴∠MNB=70°.(2分)
由折叠的性质，得∠MNB=∠MNE=70°，
∴∠ENQ=180° - 70° - 70°=40°.
由轴对称的性质可得EN=EQ，
∴∠ENQ=∠EQN=40°，
∴在△NEQ中，∠NEQ=180° - 40° - 40°=100°.(4分)
(2)①由题意可得AD//BC，MG//NE，
∴∠DMN+∠MNE+∠ENQ=180°，
∠GMD+∠DMN+∠MNE=180°，
∴∠GMD=∠ENQ.
∵∠GMD=x°，∠NEQ=y°，
∴∠ENQ=x°.
在△NEQ中，2x°+y°=180°，
∴y=180 - 2x.
故答案为y=180 - 2x.(6分)
②由①知∠GMD=∠ENQ.
∵∠MNE=2∠GMD，∠MNE=∠MNB，
∠MNB+∠MNE+∠ENQ=180°，
∴2∠GMD+2∠GMD+∠GMD=180°，(8分)
∴∠GMD=36°，即x=36°.
由①知y=180 - 2x，
∴y°=180° - 2×36°=108°.(10分)