《2025年大联考单元期末测试卷八年级数学上册沪科版》

19. 如图,已知点B,F,C,E在直线l上,点A,D在l异侧,连接AE,BD且$AC// DF$,$AC = DF$,$\angle ABC=\angle DEF$.
(1)求证:$\triangle ABC\cong\triangle DEF$.
(2)说明AE,BD的关系.

答案： 19.解：
(1)证明：
∵AC//DF,
∴∠ACB=∠DFE.
在△ABC和△DEF中，$\begin{cases} ∠ABC=∠DEF, \\ ∠ACB=∠DFE, \\ AC=DF, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEF(AAS).(5分)
(2)
∵△ABC≌△DEF，
∴AB=DE,∠ABC=∠DEF.
在△ABE和△DEB中，$\begin{cases} AB=DE, \\ ∠ABE=∠DEB, \\ BE=EB, \end{cases}$(8分)
∴△ABE≌△DEB(SAS)，
∴AE=BD,∠AEB=∠DBE，
∴AE//BD，即AE=BD,AE//BD.(10分)

20. 如图,在四边形ABCD中,$\angle B = 90°$,连接对角线AC,且$AC = AD$,点E在边BC上,连接DE,过点A作$AF\perp DE$,垂足为点F.若$AB = AF$,求证:
(1)$\angle DAC=\angle FAB$.
(2)$DF = CE + EF$.

答案：
20.证明：
(1)
∵AF⊥DE，
∴∠DFA=90°=∠B.(1分)
在Rt△ADF和Rt△ACB中，$\begin{cases} AD=AC, \\ AF=AB, \end{cases}$
∴Rt△ADF≌Rt△ACB(HL)，
∴∠DAF=∠CAB，
∴∠DAF+∠CAF=∠CAB+∠CAF，
即∠DAC=∠FAB.(5分)
(2)如图，连接AE.

在Rt△AEF和Rt△AEB中，$\begin{cases} AE=AE, \\ AF=AB, \end{cases}$(7分)
∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)，
∴EF=BE.
∵Rt△ADF≌Rt△ACB，
∴DF=BC，
∴DF=BC=CE+BE=CE+EF.(10分)