《2025年大联考单元期末测试卷八年级数学上册沪科版》

22. 如图,直线 $ l_1:y_1 = k_1x(k_1 \neq 0) $ 与直线 $ l_2:y_2 = k_2x + b(k_2 \neq 0) $ 交于点 $ C(-2,3) $,直线 $ l_2 $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于点 $ A $、点 $ B(0,4) $.
(1) 求 $ k_1,k_2,b $ 的值.
(2) 直接写出不等式组 $ k_2x + b \geq k_1x \geq 0 $ 的解集$-2\leq x\leq0$.
(3) 点 $ P $ 是直线 $ l_2 $ 上一点,且满足 $ S_{三角形AOP} = 2S_{三角形BOC} $,求点 $ P $ 的坐标.

答案： 22.解：
(1)把点$C(-2,3)$代入$y_1 = k_1x$，得$-2k_1 = 3$，解得$k_1 = -\frac{3}{2}$.(2分)
分别把点$B(0,4),C(-2,3)$代入$y_2 = k_2x + b$，得$\begin{cases}b = 4\\-2k_2 + b = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_2 = \frac{1}{2}\\b = 4\end{cases}$，即$k_1,k_2,b$的值分别为$-\frac{3}{2},\frac{1}{2},4$.(4分)
(2)$-2\leq x\leq0$.(6分)
(3)由
(1)知，$y_2 = \frac{1}{2}x + 4$.当$y_2 = 0$时，$\frac{1}{2}x + 4 = 0$，解得$x = -8$，即点$A(-8,0)$，所以$OA = 8$.(8分)
由点B的坐标，得$OB = 4$，所以$S_{三角形BOC}=\frac{1}{2}×4×2 = 4$.设点P的坐标为$(t,\frac{1}{2}t + 4)$，则$S_{三角形AOP}=\frac{1}{2}×8×|\frac{1}{2}t + 4| = 4|\frac{1}{2}t + 4|$.(10分)
由$S_{三角形AOP}=2S_{三角形BOC}$，得$4|\frac{1}{2}t + 4| = 2×4$，整理，得$\frac{1}{2}t + 4 = 2$或$\frac{1}{2}t + 4 = -2$，解得$t = -4$或$t = -12$.
当$t = -4$时，$\frac{1}{2}t + 4 = 2$；当$t = -12$时，$\frac{1}{2}t + 4 = -2$，所以点P的坐标为$(-4,2)$或$(-12,-2)$.(12分)