《2025年大联考单元期末测试卷八年级数学上册沪科版》

19. 新考法 在平面直角坐标系中,定义:点 $ P $ 到 $ x $ 轴、$ y $ 轴的距离的较小值称为点 $ P $ 的“短距”;当点 $ Q $ 到 $ x $ 轴、$ y $ 轴的距离相等时,则称点 $ Q $ 为“完美点”.
(1) 点 $ A(-3,2) $ 的“短距”为2.
(2) 若点 $ B(3a - 1,5) $ 是“完美点”,求 $ a $ 的值.
(3) 若点 $ C(-5,9 - 2b) $ 是“完美点”,求点 $ D(-6,2b - 1) $ 的“短距”.

答案： 19.解：
(1)点$A(-3,2)$的“短距”为2.(2分)
(2)因为点$B(3a - 1,5)$是“完美点”，所以$|3a - 1| = 5$，解得$3a - 1 = 5$或$3a - 1 = -5$，解得$a = 2$或$a = -\frac{4}{3}$.(5分)
(3)由题意，得$|9 - 2b| = 5$，所以$9 - 2b = 5$或$9 - 2b = -5$，解得$b = 2$或$b = 7$.(7分)
当$b = 2$时，点$D(-6,3)$，因为$|-6| = 6,6＞3$，所以“短距”为3；当$b = 7$时，点$D(-6,13)$，因为$|-6| = 6,13＞6$，所以“短距”为6.综上所述，点$D(-6,2b - 1)$的“短距”为3或6.(10分)

20. 如图,直线 $ l_1:y = x + 3 $ 与过点 $ A(3,0) $ 的直线 $ l_2 $ 交于点 $ C(1,m) $,与 $ x $ 轴交于点 $ B $.
(1) 求直线 $ l_2 $ 的函数表达式.
(2) 点 $ M $ 在直线 $ l_1 $ 上,$ MN // x $ 轴,交直线 $ l_2 $ 于点 $ N $.若 $ MN = AB $,求点 $ M $ 的坐标.

答案： 20.解：
(1)因为点$C(1,m)$在直线$l_1$上，所以把$x = 1$代入$y = x + 3$，得$y = 4$，所以点C的坐标是$(1,4)$.(2分)
设直线$l_2$的函数表达式为$y = kx + b$，由题意，得$\begin{cases}k + b = 4\\3k + b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -2\\b = 6\end{cases}$，所以直线$l_2$的函数表达式为$y = -2x + 6$.(5分)
(2)在$y = x + 3$中，令$y = 0$，得$x = -3$，所以点B的坐标为$(-3,0)$，所以$AB = 3 - (-3) = 6$.(7分)
又因为$MN = AB$，且$MN// x$轴，所以点M在点N的右侧.设点$M(a,a + 3)$，则点$N(a - 6,a + 3)$，将点$N(a - 6,a + 3)$代入$y = -2x + 6$中，得$a + 3 = -2(a - 6) + 6$，解得$a = 5$，所以点M的坐标是$(5,8)$.(10分)