《2025年大联考单元期末测试卷八年级数学上册沪科版》

23. 核心素养·推理能力在∠MAN 中,点 B,C 分别是 AM,AN 上一点,∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 P.
(1) 如图 1,若∠MAN = 90°,求∠P 的度数.
(2) 如图 2,若∠A = $\frac{1}{2}$∠P,求∠A 的度数.
(3) 如图 3,∠CBM 和∠BCN 的平分线交于点 Q,直接写出∠P 和∠Q 之间的数量关系,不需要证明.

答案： 23.解：
(1)
∵∠MAN=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°.
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点P，
∴∠CBP=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BCP=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠P=180°-(∠CBP+∠BCP)=180° - $\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=135°.(4分)
(2)
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点P，
∴∠CBP=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BCP=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠P=180°-(∠CBP+∠BCP)(6分)
=180° - $\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)
=180° - $\frac{1}{2}$(180° - ∠A)
=90°+$\frac{1}{2}$∠A.
∵∠A=$\frac{1}{2}$∠P，
∴∠P=90°+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$∠P，解得∠P=120°，
∴∠A=$\frac{1}{2}$∠P=60°.(9分)
(3)
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点P，
∴∠CBP=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BCP=$\frac{1}{2}$∠ACB.
∵∠CBM和∠BCN的平分线交于点Q，
∴∠CBQ=$\frac{1}{2}$∠CBM，∠BCQ=$\frac{1}{2}$∠BCN.(11分)
∵∠ABC+∠CBM=∠ACB+∠BCN=180°，
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=90°.
同理∠PCQ=90°，
∴∠P+∠Q=360° - 90°×2=180°.
故答案为∠P+∠Q=180°.(14分)