《2025年大联考单元期末测试卷八年级数学上册沪科版》

23. 核心素养·推理能力如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$AB = BC$，点$A$和点$B$分别落在$y$的正半轴和$x$的正半轴上，已知点$C$的坐标为$(-2,-2)$。
（1）如图$1$，过点$C$作$CD\perp x$轴于点$D$，求证：$\triangle BCD\cong\triangle ABO$，并直接写出点$A$的坐标。
（2）如图$2$，若$BC$与$y$轴交于点$E$，求证：$AE$是$\triangle ABC$的中线。
（3）如图$3$，若$AC$与$x$轴交于点$F$，连接$EF$，探索线段$AE$，$EF$和$BF$之间的数量关系，并加以证明。

答案：
23.解:
(1)证明:由题意可知$\angle AOB = \angle BDC = 90^{\circ}$,
　$\therefore \angle BAO + \angle ABO = \angle CBD + \angle ABO = 90^{\circ}$,
　$\therefore \angle BAO = \angle CBD$.
　又$\because AB = BC,\therefore \triangle BCD \cong \triangle ABO(AAS)$,(4分)
　$\therefore$点$A$的坐标为$(0,4)$.(5分)
(2)证明:如图2,过点$C$作$CG \perp y$轴于点$G$,过点$C$作$CD \perp x$轴于点$D$,则$CG// OB$,
$\therefore \angle CGE = \angle BOE = 90^{\circ},\angle ECG = \angle EBO$.
由
(1)可知$\triangle BCD \cong \triangle ABO$,
$\therefore OB = CD = CG = 2$,
$\therefore \triangle ECG \cong \triangle EBO(ASA)$,
$\therefore CE = BE$,即点$E$是$BC$的中点,
$\therefore AE$是$\triangle ABC$的中线.(9分)

(3)$AE = BF + EF$.理由如下:(10分)
如图3,在$AE$上截取$AH$,使得$AH = BF$,连接$BH$.
在$\triangle ABH$和$\triangle BCF$中,$AB = BC$,
$\angle BAH = \angle CBF,AH = BF$,
$\therefore \triangle ABH \cong \triangle BCF(SAS)$,(11分)
$\therefore BH = CF,\angle BCF = \angle ABH = 45^{\circ}$,
$\therefore \angle HBE = \angle ABC - \angle ABH = 45^{\circ}$,
则$\angle FCE = \angle HBE$.
由
(2)可知$CE = BE$,
$\therefore \triangle FCE \cong \triangle HBE(SAS)$,
$\therefore EF = EH$,
$\therefore AE = AH + EH = BF + EF$.(14分)