《2025年大联考单元期末测试卷八年级数学上册沪科版》

17. 如图,在△ABC 中,AB = AC,点 E,F 在边 BC 上,连接 AE,AF,∠BAF = ∠CAE,延长 AF 至点 D,使 AD = AC,连接 CD.
(1) 求证:△ABE≌△ACF.
(2) 若∠ACF = 30°,∠AEB = 130°,求∠ADC 的度数.

答案： 17.解：
(1)证明：
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACF.
∵∠BAF=∠CAE，
∴∠BAF - ∠EAF=∠CAE - ∠EAF，
∴∠BAE=∠CAF.(2分)
在△ABE和△ACF中，
∵∠B=∠ACF，
AB=AC，
∠BAE=∠CAF，
∴△ABE≌△ACF(ASA).(4分)
(2)
∵∠B=∠ACF=30°，∠AEB=130°，
∴∠BAE=180° - 130° - 30°=20°.
∵△ABE≌△ACF，
∴∠CAF=∠BAE=20°.
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∴∠ADC=$\frac{180° - 20°}{2}$=80°.(8分)

18. 如图,在△ABC 中,点 P 为边 BC 上的一点.
(1) 尺规作图:作直线 EF,使得点 A 与点 P 关于直线 EF 对称,直线 EF 交直线 AC 于点 E,交直线 AB 于点 F. (不写作法,保留作图痕迹)
(2) 连接 PE,AP,AP 交 EF 于点 O. 若 AP 平分∠BAC,请在(1)的基础上说明 AF = PE.

答案：
18.解：
(1)如图所示，直线EF即为所求.(4分)

(2)
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠CAP.
由
(1)可知EF垂直平分AP，
∴EF⊥AP，AE=PE.(6分)
在△AOF和△AOE中，
∵∠OAF=∠OAE，
AO=AO，
∠AOF=∠AOE=90°，
∴△AOF≌△AOE(ASA)，
∴AF=AE，
∴AF=PE.(8分)