《2025年大联考单元期末测试卷八年级数学上册沪科版》

22. 对于平面直角坐标系中的点$ P(a,b) $，若$ P'(a+kb,ka+b) $(其中$ k $为常数，且$ k \neq 0 $)，则称点$ P' $为点$ P $的“$ k $属派生点”。例如：$ P(1,4) $的“2属派生点”为$ P'(1+2 × 4,2 × 1+4) $，即$ P'(9,6) $。
(1)点$ P(-2,3) $的“3属派生点”$ P' $的坐标是(7,-3)。
(2)若点$ P $的“5属派生点”$ P' $的坐标是$ (3,-9) $，求点$ P $的坐标。
(3)若点$ P $在$ x $轴的正半轴上，点$ P $的“$ k $属派生点”为点$ P'' $，且线段$ PP'' $的长度为线段$ OP $长度的2倍，求$ k $的值。

答案： 22.解：
(1)(7,-3).(3分)
(2)设点P的坐标是(a,b).由题意，得
$\begin{cases}a+5b=3,\\5a+b=-9,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-2,\\b=1,\end{cases}$
所以点P的坐标是(-2,1).(7分)
(3)因为点P在x轴的正半轴上，所以设点P的坐标是(m,0)(m＞0).
因为点P的“k属派生点”为点P"，所以设P"的坐标是(m,km).(9分)
因为线段PP"的长度是线段OP长度的2倍，
所以PP"=2OP，即|km|=|2m|.又因为m＞0，
所以k=±2.(12分)

23. 如图，在平面直角坐标系中，点$ A,B $的坐标分别为$ (3,5) $，$ (3,0) $。将线段$ AB $向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得到线段$ CD $，连接$ AC,BD $。
(1)直接写出坐标：点$ C $(-1,3)，点$ D $(-1,-2)。
(2)点$ M,N $分别是线段$ AB,CD $上的动点，点$ M $从点$ A $出发向点$ B $运动，速度为每秒1个单位，点$ N $从点$ D $出发向点$ C $运动，速度为每秒0.5个单位。若两点同时出发，点$ M $运动至点$ B $时，点$ M $即停止运动，点$ N $继续运动至点$ C $时，点$ N $即停止，设运动时间为$ t \ s $。
①当$ t $的值为多少时，$ MN // x $轴；
②是否存在以点$ A,M,N,C $为顶点的四边形面积等于四边形$ ABDC $面积的$ \frac{3}{5} $，若存在请求出$ t $的值；若不存在，请说明理由。

答案： 23.解：
(1)因为点A,B的坐标分别为(3,5)，(3,0)，将线段AB向下平移2个单位，再向左平移4个单位，所以点C(-1,3),D(-1,-2).(4分)
(2)①当ts后MN//x轴时，点M为(3,5-t)，
点N为(-1,-2+0.5t)，
所以5-t=-2+0.5t，解得t=$\frac{14}{3}$，所以当t为$\frac{14}{3}$时,MN//x轴.(9分)
②存在.理由如下：
由题意，得$S_{四边形ABDC}$=5×4=20，
则$\frac{3}{5}$$S_{四边形ABDC}$=12.(10分)
ts时，AM=t,NC=5-0.5t，
则$S_{四边形AMNC}$=$\frac{1}{2}$×4×(AM+NC)=$\frac{1}{2}$×4×(t+5-0.5t)=12,(12分)
解得t=2，
所以当t的值是2时，以点A,M,N,C为顶点的四边形面积等于四边形ABDC面积的$\frac{3}{5}$.(14分)