《2025年大联考单元期末测试卷八年级数学上册沪科版》

23. 如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图,乙槽中有一个圆柱形实心铁块立放其中(两水槽底面积一样,圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上),两水槽在下侧位置连通(由连通阀门控制水流,连通阀门处的水量忽略不计).现将连通阀门打开,甲槽中的水匀速注入乙槽,甲、乙两个水槽中水面的高度 $ y $(单位:cm)与注水时间 $ x $(单位:min)之间的关系如图2所示.根据图象提供的信息,回答下列问题:
(1) 乙槽中圆柱形铁块的高度为____cm,点 $ C $ 的实际意义为____.
(2) 求线段 $ CD $ 所在直线的函数表达式.
(3) 设乙槽的底面积为 $ S_1 $,圆柱形铁块的底面积为 $ S_2 $,求 $ \frac{S_1}{S_2} $ 的值.

答案： 23.解：
(1)根据函数图象可得AB，BC段的陡缓不一致，所以水面上升速度不同.从0到4min甲槽中的水匀速注入乙槽，$B(4,14)$，则当$x = 4$时，乙槽中水面上升的高度等于乙槽中圆柱形铁块的高度，其高度为14cm，从4min到8min，乙槽中水面上升的高度等于甲槽中水面下降的高度，所以点C的实际意义为当$x = 8$min时，两水槽中水面的高度相同.故答案为14，当$x = 8$min时，甲、乙两水槽中水面的高度相同.(4分)
(2)由题意知当4min到8min时，甲、乙两水槽的水面高度变化一致，所以可得甲水槽每4分钟下降$(29 - 14)÷3 = 5(cm)$，所以8min时，甲水槽水面高度为$29 - 5×2 = 19(cm)$，所以点$C(8,19)$.(6分)
设线段CD所在直线的函数表达式为$y = kx + h$，由条件可得$\begin{cases}h = 29\\8k + h = 19\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -\frac{5}{4}\\h = 29\end{cases}$，所以线段CD所在直线的函数表达式为$y = -\frac{5}{4}x + 29$.(10分)
(3)依题意，得$29S_1 + 2(S_1 - S_2) = 2×19S_1 - 14S_2$，解得$\frac{S_1}{S_2}=\frac{12}{7}$.(14分)